Care sunt extremele locale, dacă există, de f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Răspuns:

#(0.14414, 0.05271)# este un maxim local

#(1.45035, 0.00119)# și #(-1.59449, -1947.21451)# sunt minimele locale.

Explicaţie:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# Dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Acest lucru nu se califică drept un extremum local.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Pentru a rezolva rădăcinile acestei funcții cubice, vom folosi metoda Newton-Raphson:

#x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Acesta este un proces iterativ care ne va duce aproape și mai aproape de rădăcina funcției. Nu includ procesul de lungă durată aici, dar după ce am ajuns la prima rădăcină, putem efectua o diviziune lungă și putem rezolva cu ușurință restul cuadratură pentru celelalte două rădăcini.

Vom primi următoarele rădăcini:

# x = 0,14414, 1,45035 și -1,59449 #

Facem acum un prim test derivat și încercați valorile din stânga și din dreapta fiecărei rădăcini pentru a vedea unde derivatul este pozitiv sau negativ.

Acest lucru ne va spune care punct este un maxim și care este un minim.

Rezultatul va fi următorul:

#(0.14414, 0.05271)# este un maxim local

#(1.45035, 0.00119)# și #(-1.59449, -1947.21451)# sunt minimele locale.

Puteți vedea unul dintre minime din graficul de mai jos:

Următoarea vedere prezintă maximum și celălalt minim:

Care sunt extremele locale, dacă există, de f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2n (x ^ 2 + 3) -x are un minim local pentru x = 1 și un maxim local pentru x = 3. funcția este definită în toate RR ca x ^ 2 + 3> 0 AA x Putem identifica punctele critice prin găsirea unde primul derivat este egal cu zero: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 astfel încât punctele critice sunt: x_1 = 1 și x_2 = 3 Deoarece numitorul este întotdeauna pozitiv, semnul lui f '(x) este opusul semnului numarul (x ^ 2-4x + 3) Acum stim ca un polinom al doilea ordin cu un coeficient de conducere

Care sunt extremele locale, dacă există, de f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3?

Valoarea locală maximă de 80 (la x = -1) și minimul local de -80 (la x = 1; f (x) = 120x ^ 5-200x ^ 3f '(x) = 600x ^ ^ 2 (x ^ 2-1) Numerele critice sunt: -1, 0 și 1 Semnul f 'se schimbă de la + la - pe măsură ce trece x = -1, deci f (-1) = 80 este un maxim local . Deoarece f este ciudat, putem conchide imediat că f (1) = - 80 este un minim relativ și f (0) nu este un extremum local.) Semnul f 'nu se schimbă pe măsură ce trece x = 0, deci f (0) nu este un extremum local. Semnul lui f 'se schimba de la - la + pe măsură ce trecem x = 1, deci f (1) = -80 este un minim local.

Care sunt extremele locale, dacă există, de f (x) = a (x-2) (x-3) (x-b), unde a și b sunt întregi?

(x + 2) (x-3) (xb) Extremele locale respecta (df) / dx = a (6 + 5b - 2 0 Acum, dacă o ne 0 avem x = 1/3 (5 + b pm sqrt [7 - 5 b + b ^ 2]), dar 7 - 5 b + b ^ 2 gt 0 (are rădăcini complexe) x) are întotdeauna un minim local și un maxim local. Presupunând o ne 0