Există vreun punct (x, y) pe curba y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, la care tangenta este paralelă cu axa x?

Răspuns:

Nu există un astfel de punct, în ceea ce privește matematica mea.

Explicaţie:

Mai întâi, să luăm în considerare condițiile tangentei dacă este paralelă cu #X#-axă. Din moment ce #X#-axa este orizontală, orice linie paralelă cu ea trebuie să fie și orizontală; deci rezultă că linia tangentă este orizontală. Și, desigur, tangente orizontale apar atunci când derivatul este egal #0#.

De aceea, trebuie să începem mai întâi prin găsirea derivatului acestei ecuații monstruoase, care poate fi realizată prin diferențierea implicită:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> LNY = (x + x / y) LNX #

Folosind regula sumă, regulă de lanț, regulă de produs, regulă de coeficient și algebră, avem:

# D / dx (LNY) = d / dx ((x + x / y) LNX) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(LNX) + (x + x / y) (LNX)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (LNX) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + LNX (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = LNX + (LNX) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = LNX + (LNX) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + LNX + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + LNX + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … a fost intens. Acum am stabilit derivatul egal cu #0# și vezi ce se întâmplă.

# 0 = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + LNX + 1 + y #

# -Ylnx-y = LNX + 1 #

# -Y (LNX + 1) = LNX + 1 #

#Y (LNX + 1) = - (LNX + 1) #

#Y = (- (LNX + 1)) / (LNX + 1) #

# Y = -1 #

Interesant. Acum să ne conectăm # Y = -1 # și să vedem pentru ce avem #X#:

# Y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Deoarece aceasta este o contradicție, concluzionăm că nu există puncte care să îndeplinească această condiție.

Răspuns:

Nu există o astfel de tangență.

Explicaţie:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1). Acum sunând (y) = x (y) = y (x + y) noi avem

(parțial x) dx + (parțial v) / (parțial y) dy = 0 # atunci

# dy / dx = - ((parțial u) / (parțial x)) / (parțial v) / (parțial y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x) (1 + y) (1 + y + log_e (y))) = ((1 + log_e (x) y)) #

Vedem asta # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # dar aceste valori trebuie să verifice:

#f (x, y_0) = 0 # și

#f (x_0, y) = 0 #

În primul caz, # y_0 = 1 # noi avem

# x ^ x = -1 # ceea ce nu este posibil în domeniul real.

În al doilea caz, # x_0 = e ^ {- 1} # noi avem

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # sau

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

dar

# y / (y + 1) log_e y> -1 # deci nici o soluție reală.

În concluzie, nu există o astfel de tangență.

Răspuns:

Răspunsul lui Dr, Cawa K, x = 1 / e, este precis.

Explicaţie:

Am propus această întrebare pentru a obține această valoare exact. Mulțumită

Dr, Cawas pentru un răspuns decisiv care aprobă revelația

dubla precizie y 'rămâne 0 în jurul acestui interval. y este

continuă și diferențiată la x = 1 / e. Deoarece ambele sunt dublurile de 17 s

precizia y și y 'sunt 0, în acest interval în jurul valorii de x = 1 / e, a fost a

presupunem că axa x atinge graficul între ele. Și acum, este

demonstrat. Cred că atingerea este transcendentală..