Care este rădăcina pătrată de 5?

Rădăcina pătrată din #5# nu poate fi tatăl simplificat decât este deja, așa că este aici # # Sqrt5 la zece zecimale:

# Sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Răspuns:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1)))) ~ ~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # este un număr irațional.

Explicaţie:

Toate numerele pozitive au în mod normal două rădăcini pătrate, una pozitivă și una negativă de aceeași dimensiune. Denumim rădăcina pătrată pozitivă (principal) din # N # de #sqrt (n) #.

O rădăcină pătrată a unui număr # N # este un număr #X# astfel încât # x ^ 2 = n #. Astfel, dacă # x ^ 2 = n # apoi, de asemenea # (- x) ^ 2 = n #.

Cu toate acestea, utilizarea populară este că "rădăcina pătrată" se referă la cea pozitivă.

Să presupunem că avem un număr pozitiv #X# care satisface:

# x = 2 + 1 / (2 + x) #

Apoi multiplicați ambele părți prin # (2 + x) # primim:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Apoi, scăderea # 2x # ambele părți obținem:

# X ^ 2 = 5 #

Așa că am găsit:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (alb) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1/4 + 1 /

Deoarece această fracțiune continuă nu se termină, putem spune asta #sqrt (5) # nu poate fi reprezentată ca o fracție terminală - adică un număr rațional. Asa de #sqrt (5) # este un număr irațional puțin mai mic decât #2 1/4 = 9/4#. Pentru aproximări raționale mai bune, puteți termina fracțiunea continuă după mai mulți termeni.

De exemplu:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2,235 #

Despachetarea acestor fracții continue poate fi puțin obositoare, așa că, în general, prefer să folosesc o metodă diferită, și anume raportul de limitare al unei secvențe întregi definită recursiv.

Definiți o secvență prin:

# (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n)

Primii termeni sunt:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Raportul dintre termeni va tinde să # 2 + sqrt (5) #.

Deci, găsim:

#sqrt (5) ~ ~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #