O coardă cu o lungime de 12 se deplasează de la pi / 12 la pi / 6 radiani pe un cerc. Care este zona cercului?

Răspuns:

Zona unui cerc este

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)

Explicaţie:

Imaginea de mai sus reflectă condițiile stabilite în problemă. Toate unghiurile (mărită pentru o înțelegere mai bună) se află în radiani care se numără de la axa X orizontală #BOU# invers acelor de ceasornic.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Trebuie să găsim o rază de cerc pentru a determina zona sa.

Știm acea coardă # # AB are lungime #12# și un unghi între raze # OA # și # OB # (Unde # O # este un centru al unui cerc) este

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Construiește o altitudine #OH# a unui triunghi #Delta AOB # de la vârf # O # în lateral # # AB. De cand #Delta AOB # este isoscele, #OH# este un bisector median și un unghi:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Luați în considerare un triunghi drept #Delta AOH #.

Știm acest cathet # AH = 6 # și unghiul # / _ AOH = pi / 24 #.

Prin urmare, hypotenuse # OA #, care este o rază a cercului nostru # R #, este egal cu

# R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Cunoscând raza, putem găsi o zonă:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Să exprimăm acest lucru fără funcții trigonometrice.

De cand

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

putem exprima zona după cum urmează:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

O altă identitate trigonometrică:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi) / 2 #

Prin urmare,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)

Acum putem reprezenta zona unui cerc ca

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Răspuns:

O altă abordare același rezultat

Explicaţie:

Coarda AB cu lungimea 12 din figura de mai sus este de la# Pi / 12 # la # Pi / 6 # în cercul de rază r și centrul O, luate ca origine.

# / _ AOX = pi / 12 # și # / _ BOX = pi / 6 #

Coordonarea polară a lui A # = (R, pi / 12) # și cea a lui B # = (R, pi / 6) #

Aplicarea formulei de distanță pentru coordonatele polare

lungimea coarnei AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Deci, zona cercului

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #