Y = f (x).Graficul, y = f (3x) -2 și y = -f (x-1)?

Răspuns:

Nu aveți hârtie grafică la îndemână - așa că sper că descrierea vă ajută!

Explicaţie:

Pentru # Y = f (3x) -2 # primul stoarce graficul dat de-a lungul #X# axa cu un factor de 3 (astfel încât mâna stângă minim, să zicem, apare la # X = -2/3 #), apoi împingeți întregul grafic jos cu 2 unități. Astfel, noul grafic va avea un minim la # x = -2 / 3 # cu o valoare de # y = -2 #, un maxim la #(0,0)# și un alt minim la #(4/3, -4)#

Pentru # Y = -f (x-1) # prima trecere a unității grafice 1 la dreapta, apoi flip-o cu susul în jos! Deci, noul grafic va avea două Maxima la #(-1,0)# și #(5,2)# și un minim la #(1,-2) #

Răspuns:

Iată o explicație mai detaliată

Explicaţie:

Problemele sunt cazuri speciale de o problemă mai generală:

Având în vedere graficul pentru # Y = f (x) #, care este graficul lui #y = f (b x + c) + d # ?

(primul este pentru # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, în timp ce al doilea este pentru # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Voi încerca să explic acest răspuns în pași, rezolvând problema cu un pas la un moment dat. Acesta va fi un răspuns destul de lung - dar sperăm că principiul general va fi clar până la sfârșitul acestuia.

Pentru exemplificare, voi folosi o anumită curbă pe care o prezint mai jos, dar ideea va funcționa în general.

(Dacă cineva este interesat, funcția care este reprezentată aici este #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Având în vedere graficul pentru # Y = f (x) #, care este graficul lui #y = f (x) + d # ?

Acesta este ușor - tot ce trebuie să faceți este să rețineți că dacă #(X y)# este un punct pe primul grafic # (X, y + d) # este un punct pe al doilea. Aceasta înseamnă că al doilea grafic este mai mare decât primul cu o distanță # D # (desigur daca # D # este negativ, este mai mică decât primul grafic prin # | D | #).

Deci, graficul # Y = f (x) + 1 # va fi

După cum puteți vedea, graficul pentru #y = f (x) + 1 # (linia violet solidă) este obținută prin simpla apăsare a graficului # Y = f (x) # (linia punctată cu gri) sus cu o unitate.

Graficul pentru # Y = f (x) -1 # pot fi găsite prin împingerea graficului inițial jos cu o unitate:

2) Având în vedere graficul pentru # Y = f (x) #, care este graficul lui #y = f (x + c) # ?

Este ușor de văzut că dacă #(X y)# este un punct pe # Y = f (x) # grafice, atunci # (X-c, y) # va fi un punct pe #y = f (x + c) # grafic. Aceasta înseamnă că puteți obține graficul #y = f (x + c) # din graficul din #y = f (x) # pur și simplu prin mutarea la stânga de # C # (desigur daca # C # este negativ, trebuie să treceți graficul original prin # | C | # la dreapta.

De exemplu, graficul pentru # Y = f (x + 1) # poate fi găsită prin împingerea graficului original la stânga cu o unitate:

în timp ce pentru # Y = f (x-1) # implică împingerea graficului inițial la dreapta cu o unitate:

3) Având în vedere graficul pentru # Y = f (x) #, care este graficul lui #y = f (bx) # ?

De cand # f (x) = f (b ori x / b) # rezultă că, dacă #(X y)# este un punct pe #y = f (x) # grafice, atunci # (x / b, y) # este un punct pe # Y = f (bx) # grafic.

Aceasta înseamnă că graficul original trebuie să fie stors cu un factor de # B # de-a lungul #X# axă. Desigur, stoarcerea prin # B # este într-adevăr a întindere de # B # 1 / pentru cazul în care # 0 <b <1 #

Graficul pentru # Y = f (2x) # este

Rețineți că în timp ce înălțimea rămâne aceeași la 1, lățimea se micșorează cu un factor de 2. În special, vârful curbei inițiale a trecut de la # X = 1 # la # X = 1 / -2 #.

Pe de altă parte, graficul pentru # Y = f (x / 2) # este

Rețineți că acest grafic este de două ori mai amplu (stoarcerea prin #1/2# fiind la fel ca întinderea cu un factor de 2), iar vârful sa mutat de asemenea # X = 1 # la # X = 2 #.

O mențiune specială trebuie făcută în cazul în care # B # este negativ. Este mai bine să vă gândiți apoi la acest lucru ca la un proces în două etape

• Mai întâi găsiți graficul # Y = f (-x) #, și apoi
• strângeți graficul rezultat prin # | B | #

Rețineți că pentru fiecare punct #(X y)# din graficul original, punctul #(-X y)# este un punct pe graficul lui # Y = f (-x) # - astfel încât noul grafic poate fi găsit prin reflectarea celui vechi despre # Y # axă.

Ca o ilustrare a procesului în două etape, luați în considerare graficul # Y = f (-2x) # prezentat mai jos:

Aici curba originală, asta pentru # Y = f (x) # este mai întâi flipped despre # Y # pentru a obține curba pentru # Y = f (-x) # (linia subțire cyan). Acest lucru este apoi stors cu un factor de #2# pentru a obține curba pentru # Y = f (-2x) # - curba purpurie groasă.

4) Având în vedere graficul pentru # Y = f (x) #, care este graficul lui #y = af (x) # ?

Modelul este același aici - dacă #(X y)# este un punct pe curba inițială atunci # (X, ay) # este un punct pe graficul lui # Y = af (x) #

Aceasta înseamnă că pentru un pozitiv #A#, graficul se întinde de un factor de #A# de-a lungul # Y # axă. Din nou, o valoare de #A# între 0 și 1 înseamnă că, în loc să fie întins, curba va fi efectiv stinsă cu un factor de # 1 / a # de-a lungul # Y # axă.

Curba de mai jos este pentru # y = 2f (x) #

Rețineți că în timp ce vârful este la aceeași valoare #X# - înălțimea sa sa dublat la 2 de la 1. Desigur, nu este doar vârful care a fost întins - # Y # coordonatele fiecărui punct al curbei originale au fost dublate pentru a obține noua curbă.

Figura de mai jos ilustrează stoarcerea care apare atunci când #0<>

Încă o dată, cazul #A <0 # are grijă deosebită - și este mai bine dacă faceți acest lucru în două etape

1. Mai întâi întoarceți curba cu susul în jos în jurul valorii de #X# pentru a obține curba pentru # Y = -f (x) #
2. Împingeți curba prin # | A | # de-a lungul # Y # axă.

Curba pentru # Y = -f (x) # este

în timp ce imaginea de mai jos ilustrează cele două etape implicate în trasarea curbei pentru #y = -2f (x) #

Punând totul împreună

Acum, că am trecut prin pașii individuali, să le punem pe toți împreună! Procedura de tragere a curbei pentru

# y = f (bx + c) + d #

începând cu cea a lui # Y = f (x) # este în esență compus din următoarele etape

1. Trageți curba # Y = f (x + c) #: schimbați graficul cu o distanță # C # la stanga
2. Apoi complotul ăsta #y = f (bx + c) #: strângeți curba pe care o obțineți de la pasul 1 în #X# direcția de factor # | B | #, (mai întâi să o răstoarnă despre # Y # axa dacă #b <0 #)
3. Apoi compuneți graficul # Y = af (bx + c) #: scalați curba pe care ați obținut-o de la pasul 2 până la un factor de #A# în direcția verticală.
4. În cele din urmă, împingeți curba pe care o obțineți la pasul 3 până la distanță # D # pentru a obține rezultatul final.

Desigur, trebuie să efectuați toți cei patru pași numai în cazuri extreme - adesea un număr mai mic de pași va face! De asemenea, secvența de pași este importantă.

În cazul în care vă întrebați, acești pași rezultă din faptul că dacă #(X y)# este un punct pe # Y = f (x) # Graficul, apoi punctul

# ({x-c} / b, ay + d) # este pe # Y = af (bx + c) + d # grafic.

Permiteți-mi să ilustrez procesul printr-un exemplu cu funcția noastră #f (x) #. Să încercăm să construim graficul pentru #y = -2f (2x + 3) + 1 #

În primul rând - trecerea la stânga cu 3 unități

Apoi: stoarceți cu un factor de 2 de-a lungul #X# axă

Apoi, răsturnând graficul în jurul valorii de #X# axă și apoi scalarea cu un factor de 2 de-a lungul # Y #

În cele din urmă, schimbarea curbei cu 1 unitate - și am terminat!