Doi sateliți P_ "1" și P_ "2" se rotesc în orbite de raze R și 4R. Raportul dintre vitezele unghiulare maxime și minime ale liniei care unește P_ "1" și P_ "2" este?

Răspuns:

#-9/5#

Explicaţie:

Conform celei de-a treia legi a lui Kepler, # T ^ 2 propo R ^ 3 implică omega propo R ^ {- 3/2} #, dacă viteza unghiulară a satelitului exterior este #omega#, cea a celui interior este #omega ori (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Lasa-ne sa consideram # T = 0 # să fie o clipă când cei doi sateliți sunt coliniari cu planeta mamă și să luăm această linie comună ca fiind #X# axă. Apoi, coordonatele celor două planete la timp # T # sunteți # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # și # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, respectiv.

Lăsa # # Teta este unghiul pe care linia care le unește cu cei doi sateliți face cu #X# axă. Este ușor să vezi asta

# teta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t) / / 4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Randamentele de diferențiere

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - de 2 ori #

# qquad ((4 omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega păcat (omega t) +8 omega păcat (8 omega t)

Prin urmare

(8 omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t) t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos 2 ^ (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)

# qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) implică #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)

# (d) = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)

În cazul în care funcția

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

are derivatul

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

și, prin urmare, scade în mod monotonic în intervalul respectiv #-1,1#.

Astfel, viteza unghiulară # (d theta) / dt # este maxim când #cos (7 omega t) # este minimă și invers.

Asa de, # (d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3 ori (-1)

# qquad qquad qquad qquad = 12 ore omega 5/25 = 12/5 omega #

# (d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 ori 1) / (17-8 ori 1)

# qquad qquad qquad qquad = 12 ore omega (-1) / 9 = -4/3 omega #

și astfel raportul dintre cele două este:

# 12/5 omega: -4 / 3 omega = -9: 5 #

Notă Faptul că # (d theta) / dt # semnul schimbării este cauza unei așa-numite mișcări retrograde retrospective