Cum simplificați root3 (1)?

Răspuns:

#1# sau #1^(1/3)# =#1#

Explicaţie:

Rădăcina cubată a lui 1 este aceeași cu creșterea 1 la puterea lui #1/3#. 1 la puterea a ceva este încă 1.

Răspuns:

Lucrăm în reals #root 3 {1} = 1 #.

Fiecare număr complex non-zero are trei rădăcini cubice, deci există

#root 3 {1} = 1 sau -1 / 2 pm i sqrt {3} / 2 #

Explicaţie:

Dacă lucrăm în numere reale, notăm doar #root 3 {1} = rădăcină 3 {1 ^ 3} = 1 #. O să presupun că este vorba de numere complexe.

Unul dintre lucrurile ciudate pe care le descoperim atunci când înmulțim în numere complexe este funcția #f (z) = e ^ {z} # este periodic. Creșterea exponențială este un fel de opusul periodic, deci este o surpriză.

Faptul cheie este identitatea lui Euler în pătrat. O numesc Identitatea adevărată a lui Euler.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Afirmația adevărată a lui Euler # E ^ z # este periodic cu perioada # 2pi i #:

# f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z =

Putem ridica identitatea adevărată a lui Euler la orice putere integeră # # K:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Ce legătură are asta cu rădăcina de cuburi a unuia? Este cheia. Se spune că există un număr infinit de modalități de a scrie unul. Unele dintre ele au rădăcini cub diferite decât altele. De aceea exponenții non-intregi dau naștere la mai multe valori.

Asta eo mare victorie. De obicei, încep doar prin scrierea:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # pentru întreg # # K

# {3} {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {2pi k} / 3} / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Ultimul pas este, desigur, Formula lui Euler # e ^ {i theta} = cosul theta + i sin theta. #

Din moment ce avem # # 2pi periodicitatea funcțiilor trig (care rezultă din periodicitatea formulei exponențiale și a lui Euler), avem doar valori unice pentru trei consecutive # # Ks. Să evaluăm asta # K = 0,1, -1 #:

# # K=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# # K=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# # K=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3}

Deci, primim trei valori pentru rădăcina de cuburi a unuia:

#root 3 {1} = 1 sau -1 / 2 pm i sqrt {3} / 2 #