Ce este o soluție la ecuația diferențială dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Răspuns:

Soluția generală este:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Explicaţie:

Noi avem:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Putem colecta termeni pentru variabile similare:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Care este o ecuație diferențială neliniară obișnuită pentru prima ordine separabilă, așa că putem "separați variabilele" a obține:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Ambele integrale sunt cele de funcții standard, astfel încât să putem folosi aceste cunoștințe pentru integrarea directă:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Și putem rearanja cu ușurință # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C)

Conducerea la soluția generală:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Răspuns:

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Explicaţie:

Aceasta este o ecuație diferențială separabilă, ceea ce înseamnă că poate fi scrisă sub forma:

# Dy / dx * f (y) = g (x) #

Se poate rezolva prin integrarea ambelor părți:

#int f (y) dy = int (x) dx #

În cazul nostru, trebuie mai întâi să separăm integralele în forma corectă. Putem face acest lucru prin împărțirea ambelor părți # (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Acum putem integra ambele părți:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Putem rezolva integral mâna stângă cu o înlocuire a lui # U = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Repoziționarea (și combinarea constantelor) dă:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Multiplicați ambele părți prin # Y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Împărțiți ambele părți prin # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #