Utilizați Testul Ratio pentru a găsi convergența următoarelor serii?

Răspuns:

Seria este divergentă, deoarece limita acestui raport este> 1

#lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 #

Explicaţie:

Lăsa #un# fi al n-lea termen al acestei serii:

#a_n = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) #

Atunci

#a_ (n + 1) = ((2 (n + 1))!) / (3 ^ (n + 1) ((n + 1)!) ^ 2) #

# = ((2n + 2)!) / (3 * 3 ^ n ((n + 1)!) ^ 2) #

# = ((2n)! (2n + 1) (2n + 2)) / (3 * 3 ^ n (n!) ^ 2 (n + 1) ^ 2) #

# = ((2n)!) / (3 ^ n (n!) ^ 2) * ((2n + 1) (2n + 2)) / (3 (n + 1) ^ 2) #

# = A_n * ((2n + 1) 2 (n + 1)) / (3 (n + 1) ^ 2) #

#a_ (n + 1) = a_n * (2 (2n + 1)) / (3 (n + 1)) #

#a_ (n + 1) / a_n = (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) #

Luând o limită a acestui raport

#lim_ (n-> oo) a_ (n + 1) / a_n = lim_ (n-> oo) (4 (n + 1/2)) / (3 (n + 1)) = 4/3> 1 #

Deci seriile sunt divergente.

Cum folosiți testul Integral pentru a determina convergența sau divergența seriei: suma n e ^ -n de la n = 1 la infinit?

Luați intl ^ ^ ooxe ^ -xdx integral, care este finit, și rețineți că acesta limitează suma_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Prin urmare, este convergentă, deci suma_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) este de asemenea. Declarația formală a testului integral afirmă că dacă fin [0, oo) rightarrowRR o funcție descrescătoare monotonă care nu este negativă. Apoi suma sum_ (n = 0) ^ oof (n) este convergentă dacă și numai dacă sup "_ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx este finită. (Tau, Terence, Analiza I, a doua ediție, agenția de carte Hindustan, 2009). Această declarație poate părea puțin tehnică, dar ideea este următoarea. Luând în a

Care este testul de comparație directă pentru convergența unei serii infinite?

Dacă încercați să determinați conergența sumei {a_n}, atunci puteți compara cu suma b_n a cărei convergență este cunoscută. Dacă 0 leq a_n leq b_n și suma b_n converge, atunci suma a_n converge de asemenea. Dacă a_n geq b_n geq 0 și suma b_n diverg, atunci suma a_n diferă de asemenea. Acest test este foarte intuitiv, deoarece tot ceea ce spune este că, dacă seria mai mare compensează, atunci și seria mai mică converge, iar în cazul în care seriile mai mici diferă, atunci seriile mai mari se diferențiază.

Cum pot găsi convergența sau divergența acestei serii? suma de la 1 la infinit de 1 / n ^ lnn

Se converge Considerăm seria sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, unde p> 1. Prin testul p, această serie se converge. Acum, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p pentru toate suficient de mari n atâta timp cât p este o valoare finită. Astfel, prin testul comparativ direct, suma_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n converge. De fapt, valoarea este aproximativ egală cu 2,2381813.