Răspuns:
# {: ("Punct critic", "Concluzie"), ((0,0,0), "șa"):
Explicaţie:
Teoria pentru a identifica extrema
- Rezolvați simultan ecuațiile critice
# (parțial f) / (parțial x) = (parțial f) / (parțial y) = 0 # (de exemplu,# F_x = f_y = 0 # ) - A evalua
#f_ (xx), f_ (yy) și f_ (xy) (= f_ (yx)) # la fiecare dintre aceste puncte critice. Prin urmare, evaluați# Delta = f_ (xx) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # la fiecare dintre aceste puncte - Determinați natura extrema;
{Delta> 0, "Există un minim dacă" f_ (xx) <0), ("și un maxim dacă" f_ (yy)> 0)), (Delta = 0, "Este necesară o analiză suplimentară"):} #
Deci avem:
f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)
################################################ -
Să găsim primele derivate parțiale:
# (parțială f) / (parțială x) = ye ^ (y ^ 2) + {(x)
(x ^ 2) -y ^ (x ^ 2) # x
# (parțială f) / (parțială y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x)
(Y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) # #
Deci ecuațiile noastre critice sunt:
# y ^ (y ^ 2) -2x ^ 2y ^ (x ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 0 => y ^ e ^ (x ^ 2)) = 0 #
(Y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ e ^ (x ^ 2)) = 0 #
Din aceste ecuații avem:
# y = 0 # sau# e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #
# x = 0 # sau# e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2)
Și singura soluție simultană este
Și așa am făcut-o unu punct critic la origine
Deci, acum, să ne uităm la al doilea derivat parțial, astfel încât să putem determina natura punctului critic (Voi citat aceste rezultate):
(parțială ^ 2f) / (parțială x ^ 2) = -4x ^ 3 ^ ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2)
(parțial ^ 2f) / (parțial y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^
# (parțială ^ 2f) / (parțială x parțială y) = e ^ (y2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (= (parțial ^ 2f) / (parțial și parțial x)) #
Și trebuie să calculăm:
(Parțial ^ 2f) / (parțial x ^ 2) (parțial ^ 2f) / (parțial y ^ 2)
la fiecare punct critic. A doua valoare derivată parțială,
(Parțial ^ 2f) / (parțial x ^ 2), (parțial ^ 2f) / (parțial y ^ 2) "Concluzie"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusiv"):} #
Deci, după toate acestea, este destul de dezamăgitor să obținem un rezultat incluziv, dar dacă examinăm comportamentul în jurul punctului critic, putem constata cu ușurință că acesta este un punct de șa.
Putem vedea aceste puncte critice dacă ne uităm la un complot 3D:
Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x, y) = x ^ 3y + 36x ^ 2 - 8y?
Vedeți răspunsul de mai jos: Credite: Vă mulțumim lui Graphing Calculator 3D (http://www.runiter.com/graphing-calculator/) care a furnizat software-ul pentru a compila funcția 3D cu rezultatele.
Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Domeniul de definire a lui: f (x) = 2x ^ 2lnx este intervalul x in (0, + oo). Evaluați primul și al doilea derivat al funcției: (df) / dx = 4xlnx + 2x2 / x = 2x (1 + 2inx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 / x = 2 + 4inx + 4 = 6 + lnx Punctele critice sunt soluțiile de: f '(x) = 0 2x (1 + 2inx) = 0 și x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) În acest punct: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 astfel încât punctul critic este un minim local. Punctele șei sunt soluțiile de: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 și f '' (x) ) este concavă în jos pentru x <1 / e ^
Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{(0,0, "min"), ((-1, -2), "șa"), ((-1,2), "șa" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Teoria pentru a identifica extremele lui z = f (x, y) (f) (y) și f_ (xy) (= f_ (yx)) la fiecare dintre aceste puncte critice (parțial f) / (parțial y) = 0 (ie z_x = z_y = . Prin urmare, evaluați Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 la fiecare din aceste puncte Determinați natura extrema; {Delta> 0, "Există o valoare minimă dacă" f_ (xx) <0), ("și maxim dacă" f_ (yy)> 0), Delta <0, există un punct de șa) , (Delta = 0, "Este necesară o analiză suplimentară"):} Așa că avem: