Răspuns:
# (: "Punct critic", "Concluzie"), ((0,0), "min"), ((-1, -2) "), ((-5 / 3,0)," max "):} #
Explicaţie:
Teoria pentru a identifica extrema
- Rezolvați simultan ecuațiile critice
# (parțial f) / (parțial x) = (parțial f) / (parțial y) = 0 # (de exemplu,# Z_x = z_y = 0 # ) - A evalua
#f_ (xx), f_ (yy) și f_ (xy) (= f_ (yx)) # la fiecare dintre aceste puncte critice. Prin urmare, evaluați# Delta = f_ (xx) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # la fiecare dintre aceste puncte - Determinați natura extrema;
{Delta> 0, "Există un minim dacă" f_ (xx) <0), ("și un maxim dacă" f_ (yy)> 0)), (Delta = 0, "Este necesară o analiză suplimentară"):} #
Deci avem:
# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #
Să găsim primele derivate parțiale:
# (parțial f) / (parțial x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #
# (parțial f) / (parțial y) = 2xy + 2y #
Deci ecuațiile noastre critice sunt:
# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #
# 2xy + 2y = 0 #
Din a doua ecuație avem:
# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #
subs
# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #
subs
# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 =
Și așa am făcut-o patru puncte critice cu coordonate;
# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #
Deci, acum să ne uităm la al doilea derivat parțial, astfel încât să putem determina natura punctelor critice:
(parțial ^ 2f) / (parțial x ^ 2) = 12x + 10 #
(parțial ^ 2f) / (parțial y ^ 2) = 2x + 2 #
(parțial ^ 2f) / (parțial x parțial parțial) = 2y (= (parțial ^ 2f) / (parțial și parțial x)) #
Și trebuie să calculăm:
(Parțial ^ 2f) / (parțial x ^ 2) (parțial ^ 2f) / (parțial y ^ 2)
la fiecare punct critic. A doua valoare derivată parțială,
(Parțial ^ 2f) / (parțial x ^ 2), (parțial ^ 2f) / (parțial y ^ 2) ((0,0), 10,2,0, gt0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1,2) 0, "șa"), ((-1,2), - 2,0,4, 0, "șa"), ((-5 / 3,0), 10,4 / 3,0, 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #
Putem vedea aceste puncte critice dacă ne uităm la un complot 3D:
