Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domeniul de definire a:

#f (x) = 2x ^ 2nx #

este intervalul #x în (0, + oo) #.

Evaluați primul și al doilea derivat al funcției:

# (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2nx) #

# (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2inx) + 2x * 2 / x = 2 + 4inx + 4 =

Punctele critice sunt soluțiile de:

#f '(x) = 0 #

# 2x (1 + 2nx) = 0 #

si ca #x> 0 #:

# 1 + 2inx = 0 #

#lnx = -1 / 2 #

# x = 1 / sqrt (e) #

În acest punct:

#f "(1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 #

astfel încât punctul critic este un minim local.

Punctele de șa sunt soluțiile de:

#f "(x) = 0 #

# 6 + lnx = 0 #

#lnx = -6 #

# x = 1 / e ^ 6 #

si ca #f '' (x) # este în creștere monotonă putem concluziona că #f (x) # este concavă pentru # x <1 / e ^ 6 # și concave pentru # x> 1 / e ^ 6 #

grafic {2x ^ 2lnx -0,2943, 0,9557, -0,4625, 0,1625}