Răspuns:
Faceți o multiplicare conjugată, utilizați identitățile trigilor și simplificați. Vezi mai jos.
Explicaţie:
Amintiți-vă Identitatea Pitagoreană # Păcat ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Împărțiți ambele părți prin # cos ^ 2x #:
# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #
# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #
Vom folosi această identitate importantă.
Să ne concentrăm asupra acestei expresii:
# Secx + 1 #
Rețineți că acest lucru este echivalent cu # (Secx + 1) / 1 #. Înmulțiți partea superioară și inferioară cu # Secx-1 # (această tehnică este cunoscută drept multiplicarea conjugatului):
# (Secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #
# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #
# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #
Din # Tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, vedem asta # Tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Prin urmare, putem înlocui numărătorul cu # Tan ^ 2x #:
# (Tan ^ 2x) / (secx-1) #
Problema noastră este acum:
# (tan ^ 2X) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1)
Avem un numitor comun, astfel încât să putem adăuga fracțiunile pe partea stângă:
# (tan ^ 2X) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1)
# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #
Tangentele anulează:
# (Anula (tan ^ 2x) + 1 anula (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #
Lăsându-ne cu:
# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #
De cand # Secx = 1 / cosx #, putem rescrie ca:
# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #
Adăugând fracții în numitor, vedem:
# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #
# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #
# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #
Utilizarea proprietății # 1 / (a / b) = b / a #, noi avem:
# Cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #
Și asta completează dovada.
# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #
# = ((Secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #
# = (Sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #
# = Cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #
#color (roșu) ("punerea", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #
# = Cosx / (cosxsecx-cosx) #
#color (roșu) ("punerea", cosxsecx = 1) #
# = Cosx / (1-cosx) = # RHS
