X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x) ). Te rog ajută-mă cu prima declarație?

Pentru a înțelege aceste afirmații, trebuie mai întâi să înțelegem notația utilizată.

• # # AA - pentru toți - Acest simbol implică faptul că ceva este valabil pentru fiecare exemplu dintr-un set. Deci, când adăugăm o variabilă #X#, # # AAX înseamnă că o anumită declarație se aplică oricărei valori sau elemente pe care le putem înlocui #X#.

• #P (x), Q (x) # - propoziție - Acestea sunt propoziții logice cu privire la #X#, adică reprezintă declarații #X# care sunt fie adevărate sau false pentru orice particular #X#.

• # # - și - Acest simbol permite combinarea mai multor propoziții. Rezultatul combinat este adevărat atunci când ambele propoziții se întorc adevărate și false altfel.

• # # - sau - Acest simbol permite, de asemenea, combinarea mai multor propoziții. Rezultatul combinat este fals când ambele propoziții se întorc false și altfel.

• # # - dacă și numai dacă - Acest simbol permite, de asemenea, combinarea mai multor propoziții. Rezultatul combinat este adevărat atunci când ambele propoziții returnează aceeași valoare pentru toți #X#, și altfel false.

Cu aceasta, putem traduce declarațiile acum. Prima declarație, formulată direct, ar suna ca "Pentru toate x, P de x și Q de x dacă și numai dacă pentru toate x, P de x, și pentru toate x, Q de x".

Unele adăugiri și modificări minore o fac mai ușor de înțeles.

"Pentru toate x, P și Q sunt adevărate pentru x dacă și numai dacă P este adevărat pentru toate x și Q este valabil pentru toate x".

Această afirmație este o tautologie, adică este adevărată, indiferent de ceea ce înlocuim în P sau Q. Putem arăta acest lucru demonstrând că propoziția anterioară implică una după ea și invers.

Plecând de la declarația anterioară, avem pentru fiecare #X#, #P (x) Q (x) # este adevarat. Prin definiția noastră de mai sus, asta înseamnă că pentru fiecare #X#, #P (x) # este adevărat și #Q (x) # este adevarat. Acest lucru implică faptul că pentru orice #X#, #P (x) # este adevărat și pentru oricine #X#, #Q (x) # este adevărat, care este declarația care apare după.

Dacă începem din declarația care apare după, atunci știm că pentru oricare dintre ele #X#, #P (x) # este adevărat și pentru oricine #X#, #Q (x) # este adevarat. Apoi pentru toți #X#, #P (x) # și #Q (x) # sunt ambele adevărate, adică pentru toți #X#, #P (x) Q (x) # este adevarat. Acest lucru dovedește că prima afirmație este întotdeauna adevărată.

A doua declarație este falsă. Fără a trece prin întregul proces ca mai sus, putem arăta pur și simplu că cele două propoziții din ambele părți ale nu au întotdeauna aceeași valoare a adevărului. De exemplu, să presupunem că pentru jumătate din toate posibil #X#, #P (x) # este adevărat și #Q (x) # este falsă, iar pentru cealaltă jumătate, #Q (x) # este adevărat și #P (x) # este falsă.

În acest caz, ca și pentru toți #X#, fie #P (x) # sau #Q (x) # este adevărat, propunerea #AAx (P (x) Q (x)) # este adevărat (vezi descrierile din de mai sus). Dar, pentru că există valori pentru #X# pentru care #P (x) # este falsă, propunerea #AAxP (x) # este falsă. În mod similar, #AAxQ (x) # este de asemenea falsă, adică #AAxP (x) AAxQ (x) # este falsă.

Deoarece cele două propoziții au valori diferite ale adevărului, în mod clar adevărul celuilalt nu garantează adevărul celuilalt și, astfel, aderarea lor cu duce la o nouă propoziție care este falsă.