Care este integritatea int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

Răspuns:

# O jumătate -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

Explicaţie:

Mai întâi înlocuim:

# U = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 #

# (Du) / (dx) = 2e ^ (2x) dx = (du) / (2e ^ (2x)) #

#intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du #

Efectuați oa doua substituție:

# V ^ 2 = u; v = sqrt (u) #

# 2V (dv) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = INTV ^ 2 / (v ^ 2-1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) # dv

Se separă prin fracțiuni parțiale:

# 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v-1) #

# 1 = A (v-1) + B (v + 1) #

# V = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1 / -2 #

# V = -1 #:

# 1 = -2A #, # A = -1/2 #

Acum avem:

# -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) #

# int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) = int1-1 dv / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) dv = 1/2 -ln (abs (v + 1)) + ln (abs (v-1)) + v + C #

Înlocuind înapoi în # V = sqrt (u) #:

# O jumătate -ln (abs (sqrt (u) +1)) + ln (abs (sqrt (u) -1)) + sqrt (u) + C #

Înlocuind înapoi în # U = 1 + e ^ (2x) #

# O jumătate -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

Care este integritatea int int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ ^ (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Putem folosi substituția pentru a elimina cos (x). Deci, să folosim păcatul (x) ca sursă. (d) / (dx) = cos (x) Găsirea dx va da, dx = 1 / cos (x) * du Acum înlocuind integralul original cu substituția, (x + 1) cos (x) * 1 / cos (x) du Putem anula cos (x) 1/4 u ^ 4 + C Acum setarea pentru u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C

Care este integritatea int int ^ 4x dx?

(tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C Rezolvarea antiderivativelor trig implică, de obicei, ruperea integrala în jos pentru a aplica Identitățile Pitagoreene și folosirea unei substituții u. Exact asta vom face aici. Începeți prin rescrierea inttan ^ 4xdx ca inttan ^ 2xtan ^ 2xdx. Acum putem aplica Identitatea Pythagorean tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x sau tan ^ 2x = sec ^ 2x-1: inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int : culoare (albă) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx Aplicarea regulii sumă: culoare (albă) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx Vom evalua aceste integrale unul câte unul. Primul Integral Acest lucru este rezolvat

Care este integritatea int int ^ 5 (x)?

(x) + (x) + ln | sec (x) | + c int tan ^ (5) (x) dx Cunoscând faptul că tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, îl putem rescrie ca int (sec ^ 2 (x) -1) ^ 2 tan (x) (x) dx + int (x) dx Primul integral: Fie u = sec (x) -> du = (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx De asemenea, int u ^ 3 du - 2int u du + int tan rețineți că int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, oferindu-ne astfel 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Înlocuind u înapoi în expresie ne dă rezultatul nostru final de 1 / 4sec ^ (4) (x) -cancel (2) * (1 / cancel (2)) sec ^ (2) (x) + ln | (x) + C Astfel int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec