Simplificați complet: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

Reamintește asta

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Prin urmare

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Prin urmare, expresia noastră este echivalentă cu #cos (40) #.

Sperăm că acest lucru vă ajută!

Răspuns:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Explicaţie:

"Complet" este un obiectiv fuzzy în trig, așa cum vom vedea.

În primul rând, problema acestei probleme este de a recunoaște forma sinusoidală a formulei unghiului dublu cosinus:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - păcat theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1 - sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Scriind asta pentru # Theta = 20 ^ # Circ, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Probabil #cos 40 ^ circ # este rezultatul "simplificat complet".

Acesta este răspunsul. Monzur sugerează că voi da o avertizare înainte de următoarea parte. Este complet opțional; continuați să citiți dacă doriți să aflați mai multe despre #cos 40 ^ circ # și nu mai citiți dacă nu faceți asta.

#cos 40 ^ circ # este simplificată complet, pentru că nu există nicio expresie mai bună pe care o putem scrie pentru asta #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ # Circ nu este construibil cu un straightedge și busola. Asta inseamna ca functiile lui trig nu sunt rezultatul numerelor intregi compuse prin adaugare, scadere, multiplicare si divizare si radacini patrate.

#cos 40 ^ circ # este de fapt rădăcina unei ecuații polinomiale cu coeficienți întregi. # Theta = 40 ^ # Circ satisface ecuația #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Dacă #x = cos theta, # asta #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # unde # T #s sunt polinomii Chebyshev de primul fel. În locul formulelor duble și triple de unghiuri, ele sunt formulele de unghiuri de 44 ori și de 46 de ori.

Asa de #cos (40 ^ Circ) # este una dintre cele patruzeci și șase de rădăcini ale:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 +1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)

Nu este deloc simplu.