Să presupunem că există m marțieni și n pământeni la o conferință de pace. Pentru a ne asigura că marțienii rămân pașnici la conferință, trebuie să ne asigurăm că nici doi marțieni nu stau împreună, astfel încât între cei doi marțieni să existe cel puțin un pământean (vezi detalii)

Răspuns:

A) # (N! (N + 1)!) / ((N-m + 1)!) #

b) # (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #

Explicaţie:

Pe lângă câteva raționamente suplimentare, vom folosi trei tehnici comune pentru numărare.

În primul rând, vom recurge la faptul că, dacă există # N # modalități de a face un singur lucru și # M # moduri de a face altul, atunci asumarea sarcinilor este independentă (ceea ce puteți face pentru că cineva nu se bazează pe ceea ce ați făcut în cealaltă), există # Nm # moduri de a face ambele. De exemplu, dacă am cinci cămăși și trei perechi de pantaloni, atunci există #3*5=15# costumele pe care le pot face.

În al doilea rând, vom folosi că numărul de modalități de ordonare # # K obiecte este #k! #. Acest lucru se datorează faptului că există # # K modalități de alegere a primului obiect și apoi # K-1 # modalități de alegere a celui de-al doilea și așa mai departe și așa mai departe. Astfel, numărul total de căi este #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

În cele din urmă, vom folosi numărul de căi de a alege # # K obiecte dintr - un set de # N # obiecte este # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k) (pronunțată ca n alege k). O prezentare a modului de a ajunge la această formulă este prezentată aici.

a) Dacă ignorăm divizările inițiale, există # min! # modalități de a comanda marțienii și #N! # modalități de a ordona pământenii. În cele din urmă, trebuie să vedem unde sunt plasați marțianii. Deoarece fiecare marțian trebuie să fie plasat fie pe un capăt, fie între doi pământeni, există # N + 1 # locurile pe care le pot sta (unul la stânga fiecărui Pământ, apoi unul mai departe la dreapta). Așa cum există # M # Martieni, asta înseamnă că există # ((n + 1), (m)) = ((n + 1) moduri posibile de a le plasa. Astfel, posibilitățile totale de așezare posibile sunt

(n + 1)) / (m (n + 1-m)) = (n +

b) Această problemă este similară celei de mai sus. Pentru a face lucrurile mai simple, să alegem un Pământ și să îl numim președinte. Deoarece nu contează cum se rotește un cerc, în loc să se refere la aranjamentele de așezare bazate pe o ordine absolută, vom lua în considerare aranjamentele de așezare bazate pe relația lor cu președintele.

La fel ca mai sus, dacă începem de la președinte și continuăm în sensul acelor de ceasornic în jurul cercului, putem număra numărul de modalități de a ordona participanții rămași. Așa cum există # M # Marțieni și # N-1 # rămânând pământeni, există # min! # modalități de a comanda marțienii și # (N-1)! # moduri de a ordona restul pământenilor.

Apoi, trebuie din nou să poziționăm marțienii. De data aceasta nu avem un punct suplimentar la final, deci există doar # N # locurile pe care le pot sta. Apoi sunt # ((N), (m)) = (n!) / (M! (N-m)!) # moduri de a le plasa. Astfel, posibilitățile totale de așezare posibile sunt

# (N-1)! M! (N!) / (M! (N-m)!) = (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #