Lim_ (x> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Răspuns:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (păcat (1 / x)) = 1 #

Explicaţie:

Noi căutăm:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Atunci când evaluăm o limită, ne uităm la comportamentul funcției "aproape" punct, nu neapărat comportamentul funcției "la" punctul în cauză, astfel ca # rarr 0 #, în nici un moment nu trebuie să luăm în considerare ceea ce se întâmplă # X = 0 #, Astfel obținem rezultatul trivial:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Pentru claritate, un grafic al funcției de vizualizare a comportamentului în jur # X = 0 #

Graficul {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Ar trebui să fie clar faptul că funcția # Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # este nedefinit la # X = 0 #

Răspuns:

Vedeți mai jos.

Explicaţie:

Definițiile limitei unei funcții pe care o folosesc sunt echivalente cu:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # dacă și numai de Pentru fiecare pozitiv # # Epsilon, există un rezultat pozitiv # Delta # astfel încât pentru fiecare #X#, dacă # 0 <abs (x-a) <delta # atunci #abs (f (x) - L) <epsilon #

Din cauza semnificației "#abs (f (x) - L) <epsilon #", acest lucru este necesar pentru toți #X# cu # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # este definit.

Asta este, pentru cerințele necesare # Delta #, toate # (A-delta, a + delta) # cu excepția posibilităților #A#, se află în domeniul # F #.

Toate acestea ne ajută:

#lim_ (xrarra) f (x) # există numai dacă # F # este definit în unele intervale deschise care conțin #A#, cu excepția probabil la #A#.

(# F # trebuie să fie definite în unele vecinătăți șterse #A#)

Prin urmare, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # nu exista.

Un exemplu aproape trivial

# f (x) = 1 # pentru #X# o realitate irațională (nedefinită pentru raționamente)

#lim_ (xrarr0) f (x) # nu exista.