Care este valoarea? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Răspuns:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Explicaţie:

Noi căutăm:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Atât numerotatorul, cât și numitorul2 #rarr 0 # la fel de # rarr 0 #. astfel limita # L # (dacă există) are o formă nedeterminată #0/0#și, în consecință, putem aplica regula lui L'Hôpital pentru a obține:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt)

(d / dx sin (x ^ 2)) # # lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^

Acum, folosind teorema fundamentală a calculului:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

Și,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Așadar:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Din nou, aceasta are o formă nedeterminată #0/0#și, în consecință, putem aplica din nou regula lui L'Hôpital pentru a obține:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)

# x = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2) / / 2cos (x ^ 2) -4x ^

Care, putem evalua:

# L = (0) / (2-0) = 0 #