Care sunt extremele globale și locale ale f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Răspuns:

#f (x) # are un minim absolut la #(-1. 0)#

#f (x) # are un maxim local la # (- 3, 4e ^ -3) #

Explicaţie:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

(x) = e (x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) Regula de produs

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Pentru extremele absolute sau locale: #f '(x) = 0 #

Aici: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

De cand # e ^ x> 0 pentru toate x în RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 sau -1 #

(x) = e (x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) Regula de produs

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Din nou, din moment ce # E ^ x> 0 # trebuie doar să testați semnul # (X ^ 2 + 6x + 7) #

la punctele extreme, pentru a determina dacă punctul este maxim sau minim.

#f '' (- 1) = e ^ 1 * 2> 0 -> f (-1) # este un minim

#f "(- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # este maxim

Având în vedere graficul #f (x) # sub aceasta este clar că #f (-3) # este un maxim local și #f (-1) # este un minim absolut.

grafic {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

În cele din urmă, evaluarea punctelor extreme:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

și

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 = = 0,199 #