Un număr întreg pozitiv este de 3 ori mai mic decât de două ori altul. Suma pătratelor lor este 117. Care sunt numerele întregi?

Răspuns:

#9# și #6#

Explicaţie:

Pătraturile primelor numere întregi pozitive sunt:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Singurii doi a căror sumă este #117# sunteți #36# și #81#.

Ele corespund condițiilor deoarece:

#color (albastru) (6) * 2-3 = culoare (albastru) (9) #

și:

#color (albastru) (6) ^ 2 + culoare (albastru) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Sunt cele două numere întregi #9# și #6#

Cum ar fi putut să le găsim mai formal?

Să presupunem că sunt numerele întregi # M # și # N #, cu:

#m = 2n-3 #

Atunci:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n +

Asa de:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (alb) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (alb) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (alb) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (alb) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (alb) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (alb) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

De aici:

#n = 6 "" # sau # "" n = -18 / 5 #

Suntem interesați doar de soluții integrale pozitive, deci:

#n = 6 #

Atunci:

#m = 2n-3 = 2 (culoare (albastru) (6)) - 3 = 9 #