Care este metoda cea mai rapidă și cea mai simplă pentru rezolvarea ecuațiilor cubice și quartice (fără un calculator polinomial)?

Răspuns:

Depinde…

Explicaţie:

În cazul în care cubul sau quarticul (sau orice polinom de grad care are importanță) are rădăcini raționale, atunci teorema rădăcinilor raționale poate fi cea mai rapidă cale de a le găsi.

De regulă, semnele lui Descartes pot ajuta, de asemenea, să identifice dacă o ecuație polinomică are rădăcini pozitive sau negative, astfel încât să restrângeți căutarea.

Pentru o ecuație cubică, poate fi utilă evaluarea discriminantului:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Dacă #Delta = 0 # atunci cubul are o rădăcină repetată.

• Dacă #Delta <0 # atunci cubul are o rădăcină reală și două rădăcini complexe non-reale.

• Dacă #Delta> 0 # atunci cubul are trei rădăcini reale.

Dacă #Delta = 0 # atunci acțiunile cubice sunt un factor cu derivatul său, deci ar trebui să puteți găsi factorul comun prin calcularea polinomului GCF.

În caz contrar, este probabil util să folosiți o transformare Tschirnhaus pentru a obține o depresie cubică fără un termen pătrat înainte de a continua.

Dacă un cub are o rădăcină reală și două non-reale, aș recomanda metoda lui Cardano.

Dacă are trei rădăcini reale, aș recomanda folosirea unei substituții trigonometrice.

Pentru quartice, puteți obține o cartită deprimată fără termen cub cu o înlocuire ca #t = x + b / (4a) #.

În cazul în care quartica rezultată, de asemenea, nu are termen liniar, atunci este un înăuntru patrat # X ^ 2 #. Puteți rezolva acest lucru fie ca un patrat și luați rădăcinile pătrate, fie folosiți o factorizare a formei:

(x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 +

Din aceasta puteți găsi factori quadratici pentru a rezolva.

Dacă quartica rezultată are un termen liniar, atunci ea poate fi luată în considerare în forma:

(x + 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 +

Ecuarea coeficienților și utilizarea # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, puteți obține un cub # A ^ 2 #. Prin urmare, puteți găsi valori posibile pentru #A#, # B # și # C #. Apoi găsiți zerourile factorilor patratici.

Există și alte cazuri speciale, dar care o acoperă aproximativ.