Răspuns:
Vezi explicația …
Explicaţie:
Lăsa #t = a_ (cf) (x; b) #
Atunci:
(x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x) + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t)
Cu alte cuvinte, # T # este un punct fix al cartografierii:
#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #
Rețineți că, prin ea însăși, # T # fiind un punct fix de #F (t) # nu este suficient pentru a dovedi acest lucru #t = a_ (cf) (x; b) #. S-ar putea să existe puncte fixe instabile și stabile.
De exemplu, #2016^(1/2016)# este un punct fix de # x -> x ^ x #, dar nu este o soluție # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Nu există o soluție).
Cu toate acestea, să luăm în considerare #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # și # t = 1.880789470 #
Atunci:
#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #
# ~~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #
# = E ^ 0.6316916199 #
# ~~ 1.880789471 ~~ t #
Deci această valoare a # T # este foarte aproape de un punct fix de #F_ (a, b, x) #
Pentru a dovedi că este stabilă, ia în considerare derivatul din apropiere # T #.
# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s)
Deci, găsim:
(1) = 1 / t ^ 2 = t = -1 / t ~~ -0,5316916199 #
Deoarece aceasta este negativă și are o valoare absolută mai mică decât #1#, punctul fix la # T # este stabilă.
De asemenea, rețineți că pentru orice valoare reală diferită de zero # S # noi avem:
# F '(e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #
Acesta este #F_ (e, 1,0.1) (s) # este în mod strict monotonic descrescătoare.
prin urmare # T # este punctul unic fix stabil.
Răspuns:
Comportament contractiv.
Explicaţie:
Cu #a = e # și #x = x_0 # iterația urmează ca
#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # Si deasemenea
#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #
Să investigăm condițiile pentru o contracție în operatorul de iterație.
Scoaterea ambelor părți
#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}})
dar în prima aproximare
(e) (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1} {k-1}) + O ((y {k-1}) ^ 2) #
sau
# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} aproximativ -b (e ^ {b / y_ {k-1} y_k-y_ {k-1}) #
Pentru a avea o contracție de care avem nevoie
#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #
Acest lucru este atins dacă
#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}. Presupunînd #b> 0 # și #k = 1 # noi avem.
# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #
Deci, dat # # X_0 și # B # această relație ne permite să găsim iterația inițială în comportament contractiv.
