Cum se poate extinde în seria Maclaurin acest lucru? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / TDT

Răspuns:

(x) x (x) x (x) x (x) x (x + x) +1) ^ 2 #

Visual: Consultați acest grafic

Explicaţie:

În mod clar, nu putem evalua acest integral deoarece utilizează oricare dintre tehnicile de integrare obișnuite pe care le-am învățat. Cu toate acestea, deoarece este un integral integrat, putem folosi o serie MacLaurin și facem ceea ce se numește termen prin integrare pe termen.

Va trebui să găsim seria MacLaurin. Deoarece nu vrem să găsim derivatul n-a acestei funcții, va trebui să încercăm să o potrivim într-una din seria MacLaurin pe care deja o cunoaștem.

În primul rând, nu ne place #Buturuga#; vrem să facem asta a # # Ln. Pentru a face acest lucru, putem folosi pur și simplu schimbarea formulei de bază:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Deci avem:

# Int_0 ^ XLN (1-t) / (TLN (10)) dt #

De ce facem asta? Ei bine, acum observă asta # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # De ce este atât de special? Bine, # 1 / (1-x) # este una dintre seriile noastre utilizate frecvent de MacLaurin:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = suma_ (n = 0)

…pentru toți #X# pe #(-1, 1#

Deci, putem folosi această relație în avantajul nostru și putem înlocui #ln (1-t) # cu # Int-1 / (1-t) dt #, ceea ce ne permite să înlocuim acest lucru # # Ln termen cu o serie MacLaurin. Punerea în comun a acestora dă:

(1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^

Evaluarea integrala:

= 1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ #

Anulează # T # termen în numitor:

= 1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^

Și acum, luăm integral integral, am început problema cu:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ dt #

Notă: Observați cum acum nu trebuie să ne îngrijim să împărțim la zero această problemă, ceea ce este o problemă pe care am fi avut-o în originalul integrand datorită # T # termen în numitor. Deoarece aceasta a fost anulată în etapa anterioară, aceasta arată că discontinuitatea este detașabilă, lucru care funcționează bine pentru noi.

= 1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 2 # evaluat de la #0# la #X#

1 = (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + 2 - 0 #

1 = (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + 2 #

Asigurați-vă că vă dați seama, totuși, că această serie este bună doar pe interval #(1, 1#, deoarece seria MacLaurin folosită mai sus este doar convergentă în acest interval. Consultați acest grafic pe care l-am făcut pentru a obține o idee mai bună despre cum arată acest lucru.

Sper că a ajutat:)