Care este intervalul de convergență a sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Și care este suma în x = 3?

Răspuns:

# - oo, -4 "U" 5, oo "este intervalul de convergență pentru x" #

# "x = 3 nu este în intervalul de convergență, astfel încât suma pentru x = 3 este" oo #

Explicaţie:

# "Trateaza suma ca ar fi o serie geometrica prin inlocuirea cu" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

#"Atunci noi avem"#

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "pentru" | z " <1 #

# "Deci, intervalul de convergență este" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

= 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2)

# "Caz pozitiv:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 și x> 5 #

# => x> 5 #

# "Caz negativ:" #

# 4> x> 3x-10 #

# => x <-4 și x <5 #

# => x <-4 #

# "A doua parte:" x = 3 => z = 2> 1 => "suma este"