Care este intervalul funcției f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Răspuns:

Domeniul este #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Explicaţie:

Rețineți că numitorul este nedefinit ori de câte ori

# 4 păcat (x) + 2 = 0 #, adică oriunde

# x = x_ (1, n) = pi / 6 + n2pi #

sau

# x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, Unde #n în ZZ # (# N # este un număr întreg).

La fel de #X# abordari #x_ (1, n) # de desubt, #f (x) # abordari # - infty #, în timp ce dacă #X# abordari #x_ (1, n) # de atunci #f (x) # abordari # + Infty #. Acest lucru se datorează împărțirii prin "aproape #-0# sau #+0#'.

Pentru #x_ (2, n) # situația este inversată. La fel de #X# abordari #x_ (2, n) # de desubt, #f (x) # abordari # + Infty #, în timp ce dacă #X# abordari #x_ (2, n) # de atunci #f (x) # abordari # # -Infty.

Obținem o serie de intervale în care #f (x) # este continuă, după cum se poate observa în complot. Gândiți-vă mai întâi la "boluri" (la capetele cărora funcția suflă până la # + Infty #). Dacă găsim minimele locale în aceste intervale, atunci știm asta #f (x) # își asumă toate valorile între această valoare și # + Infty #. Putem face același lucru și pentru "boluri cu capul în jos" sau "capace".

Observăm că cea mai mică valoare pozitivă se obține ori de câte ori numitorul în #f (x) # este cât mai mare posibil, atunci când #sin (x) = 1 #. Așadar, concluzionăm că cea mai mică valoare pozitivă a #f (x) # este #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Cea mai mare valoare negativă se găsește în mod similar #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Datorită continuității #f (x) # în intervalele dintre discontinuități și teorema valorii intermediare, putem concluziona că intervalul dintre #f (x) # este

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Parantezele grele înseamnă că numărul este inclus în intervalul (de ex. #-1/2#), în timp ce parantezele moi înseamnă că numărul nu este inclus.

Graficul {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}