Care este cea mai simplă formă radicală de sqrt115?

Răspuns:

Nu există o formă mai simplă

Explicaţie:

Cu radicalii încercați să factorizați argumentul și să vedeți dacă există niște pătrate care pot fi "scoase din sub rădăcină".

Exemplu: # Sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

În acest caz, nici un astfel de noroc:

# Sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Răspuns:

#sqrt (115) # este deja în forma cea mai simplă.

Explicaţie:

Factorizarea primară a #115# este:

#115 = 5*23#

Deoarece nu există factori pătrați, nu este posibilă simplificarea rădăcinii pătrate. Este posibil să-l exprimați ca produs, dar acest lucru nu este mai simplu:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#culoare albă)()#

Primă

În comun cu orice rădăcină pătrată irațională a unui număr rațional, #sqrt (115) # are o extensie continuă a fracției repetate:

#sqrt (115) = 10; bar (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

Puteți trata expansiunea fracției continue, pentru a da aproximații raționale #sqrt (115) #.

De exemplu:

#sqrt (115) ~~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

De fapt, prin trunchierea chiar înainte de sfârșitul secțiunii repetate a fracției continue, am găsit cea mai simplă aproximare rațională pentru #sqrt (115) # care satisface ecuația lui Pell.

Acesta este:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

diferă numai prin #1#.

Asta face # 1126/105 ~~ 10.7bar (238095) # o aproximare eficientă pentru #sqrt (115) ~ ~ 10.7238052947636 #