Dovada că N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) este un număr întreg?

Răspuns:

Considera # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Aceasta are o rădăcină reală care este #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Explicaţie:

Luați în considerare ecuația:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Folosind metoda lui Cardano de ao rezolva, hai #t = u + v #

Atunci:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Pentru a elimina termenul în # (U + v) #, adăugați constrângerea # Uv = 7 #

Atunci:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Multiplicați prin # U ^ 3 # și rearanjați pentru a obține cadranul în # U ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

prin formula patratică, aceasta are rădăcini:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343)) / 2 #

#color (alb) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (alb) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (alb) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Deoarece acesta este Real și derivarea a fost simetrică în # U # și # V #, putem folosi una din aceste rădăcini # U ^ 3 # și cealaltă pentru # V ^ 3 # pentru a deduce că real zero de # T ^ 3-21t-90 # este:

# t_1 = rădăcină (3) (45 + 29sqrt (2)) + rădăcină (3) (45-29sqrt (2)) #

dar găsim:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Deci, zero real de # T ^ 3-21t-90 # este #6#

Asa de # 6 = rădăcină (3) (45 + 29sqrt (2)) + rădăcină (3) (45-29sqrt (2)) #

#culoare albă)()#

Notă de subsol

Pentru a găsi ecuația cubică, am folosit metoda Cardano înapoi.

Răspuns:

#N = 6 #

Explicaţie:

Efectuarea # x = 45 + 29 sqrt (2) # și #y = 45-29 sqrt (2) # atunci

(1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy)) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 x x 45 #

asa de

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^

sau sunând # z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # noi avem

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

cu # 90 = 2 x x 3 2 x x 5 # și #z = 6 # este o rădăcină așa

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #