Care sunt asimptotele și găurile, dacă există, de f (x) = xsin (1 / x)?

Răspuns:

Consultați mai jos.

Explicaţie:

Ei bine, este, evident, o gaură # X = 0 #, deoarece diviziunea prin #0# nu e posibil.

Putem grafice funcția:

grafic {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Nu există alte asimptote sau găuri.

Răspuns:

#f (x) # are o gaură (discontinuitate detașabilă) la # X = 0 #.

De asemenea, are o asimptote orizontală # Y = 1 #.

Nu are asimptote verticale sau înclinate.

Explicaţie:

Dat:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Voi folosi câteva proprietăți ale lui #sin (t) #, și anume:

• #abs (sin t) <= 1 "" # pentru toate valorile reale ale # T #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # pentru toate valorile # T #.

Prima observație #f (x) # este o funcție uniformă:

(x) = sin (1 / x) = f (x) = (x /

Găsim:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)

Asa de:

(0) = 0 (0) abs (x sin (1 / x)) = lim_ (x-> 0+)

Din moment ce este #0#, așa este #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

De asemenea, din moment ce #f (x) # este chiar:

(x /> 0 ^) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +)

Rețineți că #f (0) # este nedefinit, deoarece implică împărțirea #0#, dar limitele stânga și dreapta există și sunt de acord # X = 0 #, deci are o gaură (discontinuitate detașabilă) acolo.

De asemenea, găsim:

(1) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

în mod similar:

(x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^) sin (t) / t =

Asa de #f (x) # are un asimptot orizontal # Y = 1 #

graf {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}