Fără utilizarea funcției de rezolvare a unui calculator cum pot rezolva ecuația: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Răspuns:

Sunt niște zerouri # X = 5 #, # x = -2 #, # X = 1 + -sqrt (2) i #

Explicaţie:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Ni sa spus asta # (X-5) # este un factor, astfel separat:

(x-5) (x ^ 3-x + 6) # x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 =

Ni sa spus asta # (X + 2) # este, de asemenea, un factor, atât de separat încât:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Discriminantul factorului quadratic rămas este negativ, dar putem folosi formula de bază pentru a găsi rădăcinile complexe:

# X ^ 2-2x + 3 # este în formă # Ax ^ 2 + bx + c # cu # A = 1 #, # B = -2 # și # c = 3 #.

Rădăcinile sunt date de formula brută:

# x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ - (4 * 1 * 3))) / (2 * 1)

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Să încercăm fără să știm asta # (X-5) # și # (X + 2) # sunt factori.

Termenul constant este egal cu produsul rădăcinilor, deci

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Acest coeficient este o valoare intrega a carui factori sunt #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Încercând aceste valori, putem vedea asta

#p (-2) = p (5) = 0 # obținând două rădăcini.

Putem reprezenta polinomul ca

(x2 + a x + b) # x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 =

Calculând partea dreaptă și comparând ambele părți pe care le obținem

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Rezolvarea pentru # (A, b) # primim # A = -2, b = 3 #

Evaluarea rădăcinilor # X ^ 2-2x + 3 = 0 # primim # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #