Un triunghi are vârfuri A (a, b), C (c, d) și O (0, 0). Care este ecuația și aria cercului circumscris al triunghiului?

Răspuns:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # Unde

(a2 + b ^ 2) -b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)

= {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)

(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2)

#A = pi s #

Explicaţie:

Am generalizat problema; Să vedem cum merge. Am lăsat un vârf la origine, ceea ce îl face un pic mai puțin dezordonat și un triunghi arbitrar este ușor de tradus.

Triunghiul este, desigur, total neesențial acestei probleme. Cercul circumscris este cercul prin cele trei puncte, care se întâmplă să fie cele trei noduri. Triunghiul face o aparenta surpriza in solutie.

Unele terminologii: cercul circumscris este numit triunghiul circumscris și centrul său triunghiul lui circumscris.

Ecuația generală pentru un cerc cu centru # (P, q) # și raza pătrată # S # este

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

și zona cercului este #A = pi s. #

Avem trei necunoscute # P, q, s # și știm trei puncte, așa că obținem trei ecuații:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # deoarece originea este în cerc.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Să rezolvăm ecuațiile simultane. Să le transformăm în două ecuații liniare prin extinderea și scăderea perechilor, ceea ce înseamnă că pierde # P ^ 2 + q ^ 2 # în stânga și în dreapta # S # pe dreapta.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

scăzând, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

În mod similar, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Sunt două ecuații în două necunoscute. # AX = K # are soluție # X = A ^ {- 1} K. # Îmi amintesc cele două două inverse de matrice pe care nu le știu să le formatez, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stack-ul {d, -b} {-c, a}

Pentru noi înseamnă asta

(a2 + b ^ 2) -b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)

= {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)

și o rază pătrată de

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

(a ^ 2 + b ^ 2) -b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-bc) ^ 2)

astfel încât o zonă de # Pi # ori această sumă.

Putem vedea expresia devenind mai simetrică dacă luăm în considerare ceea ce se întâmplă pentru triunghiul arbitrar # (A, B), (C, D), (E, F). # Noi am stabilit # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # dar nu voi mai lucra acum.

Voi nota numitorul lui # S # este produsul celor trei lungimi pătrat ale laturilor triunghiului și numitorul lui # S # este de șaisprezece ori suprafața pătrată a triunghiului.

În trigonometria rațională sunt numite lungimile pătratului quadrances și de șaisprezece ori suprafața pătrată este numită quadrea. Am constatat că cvadranța razei circumcirclei este produsul cvadranțelor triunghiului împărțit prin quadrea sa.

Dacă avem nevoie doar de raza sau suprafața circumcirclei, putem rezuma rezultatul aici ca:

Raza pătrată a circumcirclei este produsul lungimilor pătratului triunghiului împărțit la 16 ori mai mult decât suprafața pătrată a triunghiului.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #