Care este derivatul lui f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Proces:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Mai întâi vom rescrie ecuația într-o formă mai ușor de folosit.

Luați cosecantul din ambele părți:

2.) #csc y = x #

Rescrie în sine:

3.) # 1 / siny = x #

Rezolvă pentru # Y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Acum, luarea derivatului ar trebui să fie mai ușoară. Acum este doar o chestiune de regulă a lanțului.

Noi stim aia # d / dx arcsin alfa = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) # (există o dovadă a acestei identități situată aici)

Deci, ia derivatul funcției exterioare, apoi se înmulțește cu derivatul lui # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x

Derivatul lui # 1 / x # este același cu derivatul lui #X ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^

Simplificarea 8. ne dă:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Pentru a face declarația un pic mai frumoasă, putem aduce pătratul # X ^ 2 # în interiorul radicalului, deși acest lucru nu este necesar:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)))

Simplificarea randamentelor:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Și este răspunsul nostru. Amintiți-vă că problemele derivate care implică funcții trig inverse sunt în mare parte un exercițiu în cunoașterea identităților de tip trig. Utilizați-le pentru a descompune funcția într-o formă ușor de diferențiat.