Doamna Fox a întrebat că clasa ei este suma de 4,2 și rădăcină pătrată de 2 raționale sau iraționale? Patrick a răspuns că suma ar fi irațională. Afirmă dacă Patrick este corect sau incorect. Justificați-vă raționamentul.

Răspuns:

Suma # 4.2 + sqrt2 # este irațional; ea moștenește proprietatea de expansiune zecimală care nu se repetă niciodată #sqrt 2 #.

Explicaţie:

Un număr irațional este un număr care nu poate fi exprimat ca un raport între două numere întregi. Dacă un număr este irațional, atunci expansiunea zecimală continuă pentru totdeauna fără un model și invers.

Știm deja asta #sqrt 2 # este irațional. Expansiunea zecimală începe:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Numarul #4.2# este raţional; acesta poate fi exprimat ca #42/10.# Când adăugăm 4,2 la expansiunea zecimală a #sqrt 2 #, primim:

#sqrt 2 + 4.2 = culoare (alb) + 1.414213562373095 … #

#color (alb) (sqrt 2) culoare (alb) + culoare (alb) (4.2 =) + 4.2 #

#color (alb) (sqrt 2) culoare (alb) + culoare (alb) (4.2 =) bar (culoare albă (+) 5.614213562373095 …)

Este ușor de observat că această sumă nu se termină și nici nu are un model repetat, deci este și ea irațională.

În general, suma unui număr rațional și a unui număr irațional va fi întotdeauna irațională; argumentul este similar cu cel de mai sus.

Răspuns:

#color (albastru) ("corectă") #

Explicaţie:

Dacă începem să spunem că suma este rațională: Toate numerele raționale pot fi scrise ca fiind coeficientul a două numere întregi # A / bcolor (alb) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Produsul a două numere întregi este un număr întreg:

Diferența dintre două numere întregi este un număr întreg:

Asa de:

# 5a-21b # este un număr întreg.

# 5b # este un număr întreg.

De aici:

# (5a-21b) / (5b) # este rațională.

Dar știm asta #sqrt (2) # este irațional, deci este o contradicție față de ipoteza noastră că suma a fost rațională, deci suma unui număr irațional și un număr rațional este întotdeauna irațională.