Diferențiați și simplificați vă rugăm să ajutați?

Răspuns:

# X ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Explicaţie:

Expres # X ^ tanx # ca putere de e:

# X ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = D / DXE ^ (lnxtanx) #

Utilizând regula lanțului, # D / DXE ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # Unde # U = lnxtanx # și # D / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (D / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Expres # E ^ (lnxtanx) # ca putere de x:

# E ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = X ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Utilizați regula produsului, # D / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, Unde # U = LNX # și # V = tanx #

# lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

Derivatul lui # # Tanx este # Sec ^ 2x #

# = X ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (LNX)) tanx) #

Derivatul lui # # LNX este # 1 / x #

# = X ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Răspuns:

# Dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Explicaţie:

Vom folosi diferențierea logaritmică - adică vom lua logul natural al ambelor părți și vom diferenția implicit w.r.t #X#

Dat: # Y = x ^ tan (x) #

Luați jurnalul natural (# # Ln) de ambele părți:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Aplicarea regulii de putere a jurnalului natural #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Diferențiați ambele părți implicit w.r.t #X#

# 1 / y * dy / dx = culoare (albastru) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Vedeți munca de mai jos)

Pentru a diferenția RHS, va trebui să utilizăm regula produsului!

Noi avem # D / dx tan (x) * ln (x) #

Lăsa #f (x) = tan (x) # și #G (x) = ln (x) #

Prin urmare, #f '(x) = sec ^ 2 (x) # și #G '(x) = 1 / x #

Prin regula produsului: # D / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Înlocuirea obținem:

# D / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Simplificarea …

# D / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Revenind la ceea ce am avut înainte:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Vrem să izolam # Dy / dx # astfel încât să multiplicăm ambele părți # Y #

#cancelcolor (red) y * 1 / * cancely dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * culoare (roșu) y #

# Dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * culoare (roșu) y #

Vrem să scriem totul în ceea ce privește #X# dar avem asta #color (roșu) y # in calea. Poți să-ți amintești asta #color (roșu) y # ne este dată la început. #color (roșu) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #