Poluarea în atmosferă normală este mai mică de 0,01%. Datorită scurgerii unui gaz din fabrică, poluarea este crescută la 20%. În cazul în care zilnic 80% din poluare este neutralizată, în câte zile atmosfera va fi normală (log_2 = 0.3010)?

Răspuns:

#ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4.72 # zi

Explicaţie:

Procentul de poluare este de #20%#, și vrem să dăm seama cât timp este nevoie să se ducă la ea #0.01%# dacă poluarea scade cu #80%# in fiecare zi.

Aceasta înseamnă că în fiecare zi, înmulțim procentul de poluare cu #0.2# (#100%-80%=20%)#. Dacă o facem timp de două zile, ar fi procentul înmulțit cu #0.2#, înmulțit cu #0.2# din nou, care este același cu multiplicarea prin #0.2^2#. Putem spune că dacă facem asta # N # zile, ne-ar multiplica prin # 0.2 ^ n #.

#0.2# este cantitatea inițială de poluare și #0.0001# (#0.01%# în zecimal) este suma la care vrem să ajungem. Ne întrebăm de câte ori trebuie să ne multiplicăm #0.2# a ajunge acolo. Putem exprima acest lucru în următoarea ecuație:

# 0.2 * 0.2 ^ n = 0,0001 #

Pentru a rezolva aceasta, vom împărți mai întâi ambele părți #0.2#:

# (Cancel0.2 * 0,2 ^ n) /cancel0.2=0.0001/0.2#

# 0.2 ^ n = 0,0001 / 0,2 = 0,0005 #

Acum putem lua un logaritm pe ambele părți. Ce logaritm folosit nu are importanță, suntem imediat după proprietățile logaritmului. Voi alege logaritmul natural, deoarece este prezent pe majoritatea calculatoarelor.

#ln (0,2 ^ n) = ln (0,0005) #

De cand #log_x (a ^ b) = blog_x (a) # putem rescrie ecuația:

#nln (0,2) = ln (0,0005) #

Dacă împărțim ambele părți, obținem:

# N = ln (0,0005) / ln (0,2) ~ = 4.72 #