Fie N un întreg pozitiv cu 2018 cifre zecimale, toate 1: adică N = 11111cdots111. Care este mia de cifre după punctul zecimal de sqrt (N)?

Fie N un întreg pozitiv cu 2018 cifre zecimale, toate 1: adică N = 11111cdots111. Care este mia de cifre după punctul zecimal de sqrt (N)?
Anonim

Răspuns:

#3#

Explicaţie:

Rețineți că întregul dat este #1/9(10^2018-1)#, deci are rădăcină pătrată pozitivă foarte aproape de #1/3(10^1009)#

Rețineți că:

#(10^1009-10^-1009)^2 = 10^2018-2+10^-2018 < 10^2018-1#

#(10^1009-10^-1010)^2 = 10^2018-2/10+10^-2020 > 10^2018-1#

Asa de:

# 10 ^ 1009-10 ^ -1009 <sqrt (10 ^ 2018-1) <10 ^ 1009-10 ^ -1010 #

și:

# 1/3 (10 ^ 1009-10 ^ -1009) <sqrt (1/9 (10 ^ 2018-1)) <1/3 (10 ^ 1009-10 ^

Partea stângă a acestei inegalități este:

#overbrace (333 … 3) ^ "1009 de ori".overbrace (333 … 3) ^ "1009 de ori" #

iar partea dreaptă este:

#overbrace (333 … 3) ^ "1009 de ori".versa (333 … 3) ^ "1010 de ori" #

Așa că putem vedea că #1000#a zecimală este #3#.