Cum de a integra int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx prin fracții parțiale?

$Cum de a integra int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx prin fracții parțiale?$

Răspuns:

# 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Explicaţie:

Deci, mai întâi scriem acest lucru:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

Prin adăugare obținem:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Utilizarea # x = -2 # ne ofera:

# 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 #

# A = 4 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Apoi, folosind # x = -1 # ne ofera:

# 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) #

Acum, folosind # X = 0 # (orice valoare care nu a fost utilizată poate fi utilizată):

# 6 = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1 = 1 #

# B = 2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) -1) #

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = 4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2 #

# INT4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2DX = 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + int-1 / (x + 1) ^ 2DX #

Am lăsat-o pe asta pentru a putea lucra separat.

Noi avem # - (x + 1) ^ - 2 #. Știm că folosirea regulii lanțului ne oferă # D / dx f (x) ^ n = nf (x) ^ (n-1) f '(x) #. Tocmai am # - (x + 1) ^ - 2 #, asa de #f (x) # trebuie sa fie # (X + 1) ^ - 1 #

# D / dx (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

# INT4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2DX = 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Cum integrați int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) folosind fracții parțiale?

(X + 2) x + 1 / x + C Trebuie să găsim A, B, C astfel încât 1 / (x ^ + C / (2x-1) pentru toate x. Multiplicați ambele părți cu x ^ 2 (2x-1) pentru a obține 1 = Axă (2x1) + B (2x1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2 Axă + 2BxB + (2A + C) x 2 + (2B-A) xB Coeficienții de egalizare ne dau {(2A + C = 0), (2B-A = 0) -2, B = -1, C = 4. Înlocuind aceasta în ecuația inițială, obținem 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx pentru a obține 2n |

Cum integrați (x-2) / (x ^ 2 + 4x + 3) folosind fracții parțiale?

Vedeți răspunsul de mai jos:

Cum găsiți int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx folosind fracții parțiale?

(1 + 2)) + C Fie 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) be = (A / ) Extinzând partea dreaptă, primim (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) ) + B * (1 + x)) / (1 + x) * (1 - 2x) (1 + x) = 3 sau A - 2Ax + B + Bx = 3 sau (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 echivalând coeficienții x la 0 și constantele de egalitate, = 3 și -2A + B = 0 Rezolvarea pentru A & B, obținem A = 1 și B = 2 Înlocuind integrarea, obținem int 3 / ((1 + x) (1 / x)) dx = int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 + x) / (1 - 2)) + ln (1 - 2x)