Marte are o temperatură medie de suprafață de aproximativ 200K. Pluto are o temperatură medie de suprafață de aproximativ 40K. Ce planetă emit mai multă energie pe metru pătrat de suprafață pe secundă? Cu un factor cât de mult?

Răspuns:

Marte emană #625# ori mai multă energie pe unitate de suprafață decât Pluto.

Explicaţie:

Este evident că un obiect mai fierbinte va emite mai multe radiații ale corpului negru. Astfel, deja știm că Marte va emite mai multă energie decât Pluto. Singura întrebare este cu cât.

Această problemă necesită evaluarea energiei radiației corpului negru emisă de ambele planete. Această energie este descrisă ca o funcție a temperaturii și a frecvenței emise:

# E (nu, T) = (2pi ^ 2nu) / c (h nu) / (e ^ ((hnu) / (kT)) - 1)

Integrarea peste frecvență oferă puterea totală pe unitate de suprafață în funcție de temperatură:

# int_0 ^ infty E (nu, T) = (pi ^ 2c (kT) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3)

(rețineți că ecuația de mai sus utilizează # # Barh, constanta lui Planck redusă, mai degrabă decât # H #. Este greu de citit în notația lui Socratic)

Rezolvarea pentru raportul dintre cele două, apoi, rezultatul este incredibil de simplu. Dacă # # T_p este temperatura lui Pluto și # # T_m este temperatura lui Marte, atunci factorul #A# poate fi calculat cu:

# (Pi ^ 2c (kT_m) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) = a (pi ^ 2c (kT_p) ^ 4) / (60 (barhc) ^ 3) #

#cancel (pi ^ 2ck ^ 4) / anulare (60 (barhc) ^ 3) T_m ^ 4 =

# (T_m / T_p) ^ 4 = a = (200/40) ^ 4 = 5 ^ 4 = 625 # ori cât mai mult