Două colțuri ale unui triunghi isoscel sunt la (5, 8) și (4, 6). Dacă suprafața triunghiului este de 36, care sunt lungimile laturilor triunghiului?

Răspuns:

Perechea dată formează baza, lungimea #sqrt {5} #, iar laturile comune sunt lungimea #sqrt {1038.05} #,

Explicaţie:

Se numesc noduri.

Îmi place asta pentru că nu ni se spune dacă ni se dă partea comună sau baza. Să găsim triunghiurile care fac zona 36 și să ne dăm seama care sunt isoscele mai târziu.

Apelați nodurile # A (5,8), B (4,6), C (x, y). #

Putem spune imediat

#AB = sqrt {(5-4) ^ 2 + (8-6) ^ 2} = sqrt {5} #

Formula de șireturi dă zona

# 36 = 1/2 | 5 (6) - 8 (4) + 4y - 6x + 8x - 5y | #

# 72 = | -2 + 2x - y | #

# y = 2x - 2 pm 72 #

#y = 2x + 70 quad # și # quad y = 2x - 74 #

Sunt două linii paralele și orice punct #C (x, y) # pe oricare dintre ele face #text {zonă} (ABC) = 36. #

Care sunt izoscele? Există trei posibilități: AB este baza, BC este baza, sau AC este baza. Două vor avea aceleași triunghiuri congruente, dar le va permite să le realizăm:

Cazul AC = BC:

(x-5) ^ 2 + (y-8) ^ 2 = (x-4) ^ 2 + (y-6)

# -10 x + 25 -16 y + 64 = -8 x + 16 -12 y + 36 #

# -2x-4 y = -37 #

Asta se întâmplă # y = 2x + k quad quad (k = 70, -74) # cand

# -2x -4 (2x + k) = -37 #

# -10 x = 4k - 37 #

# x = 1/10 (37 - 4k) quad quad quad k = 70, -74 #

# x = 1/10 (37 - 4 (70)) = -24,3 #

# y = 2 (-24,3) + 70 = 21,4 #

# x = 1/10 (37 - 4 (-74)) = 33,3 #

# y = 2 (33,3) - 74 = -7,4 #

#C (-24,3, 21,4) # lungimi laterale

#AC = sqrt {(5-24.3) ^ 2 + (8 - 21.4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

# BC = sqrt {(4-24.3) ^ 2 + (6 - 21.4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

# C (33,3, -7,4) # lungimi laterale

#AC = sqrt {(5 - 33.3) ^ 2 + (8- -7.4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

# BC = sqrt {(4- 33.3) ^ 2 + (6 - -7.4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

cazul AB = BC: # A (5,8), B (4,6), C (x, y). #

# 1 ^ 2 + 2 ^ 2 = (x-4) ^ 2 + (y-6) ^ 2 = x ^ 2 -8x + y ^

# 0 = x ^ 2 - 8x + y ^ 2 - 12y + 47 #

Asta eo durere deoarece quadratica nu a anulat. Să ne întâlnim

# 0 = x ^ 2 - 8x + y ^ 2 - 12y + 47, y = 2x + 70 quad # nici o soluție reală

# 0 = x ^ 2 - 8x + y ^ 2 - 12y + 47, y = 2x - 74 quad # nici o soluție reală

Nimic aici.

caz AB = AC: # A (5,8), B (4,6), C (x, y). #

(X-5) ^ 2 + (y-8) ^ 2 = x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 89 #

# x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 84 = 0 #

# x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 84 = 0 y = 2x + 70 quad # fără soluții

# x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 84 = 0, y = 2x - 74 quad # fără soluții