Răspuns:
Nu cred că ecuația este valabilă. presupun #abs (z) # este funcția de valoare absolută
Explicaţie:
Încercați cu doi termeni, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
prin urmare
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + ABS (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Poate vrei să spui inegalitatea triunghiului pentru numere complexe:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Putem abrevia acest lucru
suma z_i | le sum | z_i | #
unde sunt sumele #sum_ {i = 1} ^ n #
Lema. # text {Re} (z) le | z | #
Partea reală nu este niciodată mai mare decât magnitudinea. Lăsa # Z = x + iy # pentru unele reale #X# și # Y #. Clar # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # și luând rădăcini pătrate # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Amploarea este întotdeauna pozitivă; #X# poate sau nu poate fi; fie că nu este niciodată mai mult decât amploarea.
Voi folosi bara superioară pentru conjugat. Aici avem un număr real, magnitudinea pătrată, care este egală cu produsul conjugatelor.Trucul este că el este egal cu partea sa reală. Partea reală a sumei este suma părților reale.
suma z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = text {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i text {Re} (z_i bar (sum_j z_j)
Prin lema noastră, iar magnitudinea produsului fiind produsul de magnitudine și mărimea conjugatelor sunt egale,
suma z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) = sum_i | z_i | | bar (suma_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Putem anula un factor de amploare a sumei # | suma z_i |, ceea ce este pozitiv, păstrând inegalitatea.
suma z_i | le sum | z_i | #
Asta am vrut să dovedim.
