Un triunghi are colțurile A, B și C situate la (3, 5), (2, 9) și respectiv (4, 8). Care sunt punctele finale și lungimea altitudinii care trece prin colțul C?

Răspuns:

Endpoints #(4,8)# și #(40/17, 129/17) # și lungimea # 7 / sqrt {17} #.

Explicaţie:

Sunt aparent un expert în a răspunde întrebărilor de doi ani. Hai sa continuăm.

Altitudinea prin C este perpendiculară pe AB prin C.

Există câteva moduri de a face acest lucru. Putem calcula panta AB ca #-4,# atunci panta perpendiculară este #1/4# și găsim întâlnirea perpendiculară prin C și linia prin A și B. Să încercăm altă cale.

Să numim piciorul perpendicular #F (x, y) #. Știm că produsul punct al vectorului de direcție CF cu vectorul de direcție AB este zero dacă sunt perpendiculare:

# (B-A) cdot (F-C) = 0 #

# (1, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Aceasta este o ecuație. Cealalta ecuatie spune #F (x, y) # este pe linia prin A și B:

# (y-5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Se întâlnesc când

# x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Lungimea CF a altitudinii este

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Să verificăm acest lucru prin calcularea zonei folosind formula de șiret și apoi rezolvarea pentru altitudine. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

# a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

# a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} Quad Quad Quad sqrt #