Răspuns:
De mai jos
Explicaţie:
Pentru a arăta că inegalitatea este adevărată, folosiți inducția matematică
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # pentru #n> 1 #
Pasul 1: Dovedește adevărat pentru # N = 2 #
LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #
RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #
De cand # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, atunci #LHS> RHS #. Prin urmare, este adevărat pentru # N = 2 #
Pasul 2: Să presupunem că este adevărat pentru # N = k # unde k este un număr întreg și #k> 1 #
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)
Pasul 3: Când # + 1 # n = k,
RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)
și anume # 1> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)
RHS
=# Sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
#> = Sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # din (1) prin ipoteză
=# Sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #
=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #
De cand #k> 1 #, atunci # -1 / sqrt (k + 1) <0 # și de atunci # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, atunci # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # asa de # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #
= LHS
Pasul 4: Prin dovada inducției matematice, această inegalitate este valabilă pentru toate numerele întregi # N # mai mare ca #1#
Inegalitatea așa cum sa spus este falsă.
De exemplu, pentru #n = 3 #:
#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (aproximativ 2.3) anulați (> =)
O contradicție.
