Dacă este posibil, găsiți o funcție f astfel încât gradul f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Răspuns:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Explicaţie:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Acum ia" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Apoi avem unul și același f, care satisface condițiile." #

= f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Răspuns:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Explicaţie:

Avem o notație slabă în întrebare, deoarece operatorul del (sau operatorul de gradient) este un operator diferențial vectorial, Căutăm o funcție #f (x, y) # astfel încât:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Unde #BB (grad) # este operatorul de gradient:

(parțial x) bb (ul hat i) + (parțial f) / (parțial x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Din care cerem ca:

# f_x = (parțial f) / (parțial x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (parțial f) / (parțial y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Dacă vom integra A wrt #X#, tratând în același timp # Y # ca o constantă atunci ajungem:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# x = 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Dacă vom integra W wrt # Y #, tratând în același timp #X# ca o constantă atunci ajungem:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

(X) + c (x) + (x)

Unde #U (y) # este o funcție arbitrară # Y # singur, și #v (x) # este o funcție arbitrară #X# singur.

Este evident că aceste funcții trebuie să fie identice, astfel:

(x) + c (x) + c (x) + (x)

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Și așa vom alege #v (x) = x ^ 4 # și #U (y) = y ^ 6 #, care ne dă soluția:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Putem confirma cu ușurință soluția prin calcularea derivatelor parțiale:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED