Dacă rotiți o singură matriță, care este numărul așteptat de rulouri necesare pentru a rostogoli fiecare număr o dată?

Răspuns:

# 14.7 "role" #

Explicaţie:

#P "toate numerele aruncate" = 1 - P "1,2,3,4,5 sau 6 nu aruncate" #

#P "A sau B sau C sau D sau E sau F" = P A + P B + … + P F - #

# P A și B - P A și C …. + P A și B și C + … #

# "Aici este" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n #

# P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# 6 (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1)

(N-1) + 10 * (2/6) (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Negativ este probabilitatea noastră." #

#sum n * a ^ (n-1) = suma (d / {da}) (a ^ n) #

= (d / {da}) suma a ^ n = (d / {da}) (1 / a-1)

# => E n = suma n * P "toate numerele aruncate după n aruncă" #

# = suma n * ((5/6) ^ (n-1) -5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Trebuie să scădem din cauza condiției de început P_1 (0)" #

# "dă o valoare defectuoasă P = 1 pentru n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Răspuns:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Explicaţie:

Gândește-te ca șase mini-jocuri. Pentru fiecare meci, rotim murimea până când rotim un număr care nu a fost încă rulat - ceea ce vom numi o "victorie". Apoi începem următorul joc.

Lăsa #X# fie numărul de rulouri necesare pentru a rostogoli fiecare număr cel puțin o dată (adică a câștiga toate cele 6 mini-jocuri) și lăsați-l # # X_i fie numărul de rulouri necesare pentru a "câștiga" numărul de mini-jocuri # I # (pentru # I # de la 1 la 6). Apoi fiecare # # X_i este o variabilă aleatorie geometrică cu distribuție # "Geo" (p_i) #.

Valoarea așteptată a fiecărei variabile aleatorii geometrice este # 1 / p_i #.

Pentru primul joc, # p_1 = 6/6 # deoarece toate cele 6 rezultate sunt "noi". Prin urmare, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Pentru al doilea joc, 5 din cele 6 rezultate sunt noi, deci # P_2 = 5/6 #. Prin urmare, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Pentru al treilea joc, 4 din cele 6 roll-uri posibile sunt noi, deci # P_3 = 4/6 #, sens # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Prin acest punct, putem vedea un model. Deoarece numărul de role "câștigătoare" scade cu 1 pentru fiecare joc nou, probabilitatea de "câștig" a fiecărui joc scade de la #6/6# la #5/6#, atunci #4/6#, etc., ceea ce înseamnă că numărul de rulouri pe joc este de așteptat #6/6# la #6/5#, la #6/4#, și așa mai departe, până la ultimul joc, unde ne așteptăm să dureze 6 runde pentru a obține ultimul număr.

Prin urmare:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#Color (alb) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2)

#color (alb) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6 /

#color (alb) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (alb) ("E" (X)) = 14,7 #