Triunghiul A are o suprafață de 12 și două laturi cu lungimile 4 și 8. Triunghiul B este similar cu triunghiul A și are o latură de lungime 7. Care sunt zonele maxime și minime posibile ale triunghiului B?

Răspuns:

#A_ "Bmin" ~ ~ 4,8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #

Explicaţie:

Mai întâi trebuie să găsiți lungimile laterale pentru triunghiul A cu dimensiuni maxime, când partea cea mai lungă este mai mare de 4 și 8 și triunghiul minim de dimensiuni, când 8 este cea mai lungă parte.

Pentru a face acest lucru utilizați formula Heron's Area: #s = (a + b + c) / 2 # Unde # a, b, & c # sunt lungimile laterale ale triunghiului:

#A = sqrt (s-s) (s-b) (s-c)) #

Lăsa #a = 8, b = 4 "&" c "lungimile laterale necunoscute" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

#A_A = 12 = sqrt (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8)

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c)

Piața ambelor fețe:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c)

Trageți 1/2 din fiecare factor:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12c)

Simplifica:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

*Substitui # x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

Utilizați completarea pătratului:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160 / 2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

Pătrată rădăcină ambele părți:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

# x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 sqrt (7) #

Substitui # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

Deoarece lungimile laterale ale triunghiului sunt pozitive, trebuie să ignorăm răspunsurile negative:

Lungimi minime și maxime ale triunghiului A:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~ ~ 6.137, 11.06 #

De cand aria triunghiurilor este proporțională cu pătratul lungimilor laterale putem găsi zonele maxime și minime ale triunghiului B:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2; "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36,75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2; "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9,1875 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 11,06) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~ ~ 4.8 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~ ~ 4,8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #