Care sunt punctele extreme și șa ale lui f (x, y) = xy (1-x-y)?

Răspuns:

Punctele #(0,0),(1,0)#, și #(0,1)# sunt puncte de șa. Punctul #(1/3,1/3)# este un punct maxim local.

Explicaţie:

Ne putem extinde # F # la #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Apoi, găsiți derivatele parțiale și setați-le la zero.

frac { parțial f} { parțial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y)

frac { parțial f} { parțial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y)

Clar, # (X, y) = (0,0), (1,0), # și #(0,1)# sunt soluții la acest sistem, și astfel sunt puncte critice ale # F #. Cealaltă soluție se găsește din sistem #-1-2x y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Rezolvarea primei ecuații pentru # Y # in termeni de #X# dă # Y = 1-2x #, care poate fi conectat la cea de-a doua ecuație # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Din această, # Y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # de asemenea.

Pentru a testa natura acestor puncte critice, găsim două derivate:

# frac { parțial ^ {2} f} { parțial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { parțial ^ {2} f} { parțial y ^ {2}} = - 2x #, și frac { parțial y parțială x} = 1-2x-2y # frac { parțial ^ {2} f}.

Prin urmare, discriminantul este:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Conectarea la primele trei puncte critice oferă:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, și #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, făcând aceste puncte puncte de șa.

Conectarea la ultimul punct critic oferă #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. De asemenea, rețineți că # frac { parțial ^ {2} f} { parțial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3). Prin urmare, #(1/3,1/3)# este o locație cu o valoare maximă locală de # F #. Puteți verifica dacă este valoarea maximă locală în sine #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Mai jos este o imagine a hărții de contur (a curbelor de nivel) din # F # (curbele în cazul în care producția de # F # este constant), împreună cu cele 4 puncte critice ale lui # F #.