Pentru f (x) = xsin ^ 3 (x / 3) care este ecuația liniei tangente la x = pi?

Răspuns:

# Y = 1.8276x-3.7 #

Explicaţie:

Trebuie să găsiți instrumentul derivat:

#f '(x) = (x)' păcat ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)) '#

În acest caz, derivatul funcției trigonometrice este de fapt o combinație de 3 funcții elementare. Acestea sunt:

# # Sinx

# X ^ n #

# C * x #

Modul în care va fi rezolvat este următorul:

# (Sin ^ 3 (x / 3)) '= 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3))' = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) '= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = Sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

Prin urmare:

#f '(x) = 1 * sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + xcos (x / 3)) #

Determinarea ecuației tangente:

#f '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# Y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Înlocuirea următoarelor valori:

# X_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2.0405 #

#f '(x_0) = f' (π) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1.8276 #

Prin urmare, ecuația devine:

# Y = 1.8276x-1.8276 * π + 2.0405 #

# Y = 1.8276x-3.7 #

În graficul de mai jos puteți vedea că la # X = π = 3.14 # tangenta crește într-adevăr și va intersecta axa y'y la #Y <0 #

Graficul {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1,53, 9,57, -0,373, 5,176}