Cum găsiți limita lim_ (h-> 0) (sqrt (1 + h) -1) / h?

Răspuns:

# Frac {1} {2} #

Explicaţie:

Limita prezintă o formă nedefinită #0/0#. În acest caz, puteți folosi teorema de spital, care afirmă

lim frac {f (x)} {g (x)} =

Derivatul numărătorului este

# Frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

În timp ce derivatul numitorului este pur și simplu #1#.

Asa de, frac { frac {1} {2sqrt (1 + h)} frac {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x } {1} = lim_ {x to 0} frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

Și astfel pur și simplu

# Frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} #

Răspuns:

# = 1/2 #

Explicaţie:

Dacă nu sunteți conștient de regula domnilor …

Utilizare:

# (1 + x) ^ n = 1 + nx + (n (n-1)

# => (1 + h) ^ (1/2) = 1 + 1 / 2h - 1/8 h ^ 2 + … #

# => lim_ (h la 0) ((1 + 1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) - 1) / h #

# => lim_ (h la 0) (1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) / h #

# => lim_ (h la 0) (1/2 - 1/8 h + …) #

# = 1/2 #