Să presupunem că lansați un proiectil la o viteză suficient de mare pentru a putea atinge o țintă de la distanță. Având în vedere că viteza este de 34 m / s, iar distanța de la distanță este de 73 m, care sunt cele două unghiuri posibile ale proiectilului?

Răspuns:

# Alpha_1 ~ = 19,12 ° #

# Alpha_2 ~ = 70,88 ° #.

Explicaţie:

Mișcarea este o mișcare parabolică, adică compoziția a două mișcări:

prima, orizontală, este o mișcare uniformă cu legea:

# X = x_0 + v_ (0x) t #

iar al doilea este o mișcare decelerată cu lege:

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #,

Unde:

• #(X y)# este poziția în acel moment # T #;
• # (X_0, y_0) # este poziția inițială;
• # (V_ (0x), v_ (0Y)) # sunt componentele vitezei inițiale, care sunt, pentru legile trigonometriei:

  #v_ (0x) = v_0cosalpha #

  #v_ (0Y) = v_0sinalpha #

  (#alfa# este unghiul care formează viteza vectorului cu orizontala);

• # T # este timpul;
• # G # este accelerația gravitațională.

Pentru a obține ecuația mișcării, o parabolă, trebuie să rezolvăm sistemul dintre cele două ecuații scrise mai sus.

# X = x_0 + v_ (0x) t #

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #.

Sa gasim # T # de la prima ecuație și să înlocuim în a doua:

# T = (x-x_0) / v_ (0x) #

# Y = y_0 + v_ (0Y) (x-x_0) / v_ (0x) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / v_ (0x) ^ 2 # sau:

# Y = y_0 + v_0sinalpha (x-x_0) / (v_0cosalpha) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alfa) # sau

# Y = y_0 + sinalpha (x-x_0) / cosalpha-1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alfa) #

Pentru a găsi intervalul pe care îl putem presupune:

# (X_0, y_0) # este originea #(0,0)#, iar punctul în care se încadrează are coordonatele: # (0, x) # (#X# este gama!), astfel:

# 0 = 0 + sinalpha * (x-0) / cosalpha-1/2 g (x-0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alfa) rArr #

# x * sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alfa) x ^ 2 = 0rArr #

#X (sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alfa) x) = 0 #

# X = 0 # este o soluție (punctul inițial!)

# X = (2sinalphacosalphav_0 ^ 2) / g = (v_0 ^ 2sin2alpha) / g #

(folosind formula dublă a sinusului).

Acum avem dreapta formula pentru a răspunde la întrebarea:

# Sin2alpha = (x * g) / v_0 ^ 2 = (73 * 9.8) / 34 ^ 2 ~ = 0,6189rArr #

# 2alpha_1 ~ = arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 38,23 ° #

# Alpha_1 ~ = 19,12 ° #

și (sinusul are soluții suplimentare):

# 2alpha_2 ~ = 180 ° -arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 180 ° -38,23 ° ~ = 141,77 ° #

# Alpha_2 ~ = 70,88 ° #.