Un triunghi are colțuri la (5, 5), (9, 4) și (1, 8). Care este raza cercului inscris al triunghiului?

Răspuns:

# r = {8} / { sqrt {17} + 4 sqrt {5} + 5} #

Explicaţie:

Noi numim nodurile colțurilor.

Lăsa # R # fie raza incirclei cu stimulatorul I. Perpendiculara de la I la fiecare parte este raza # R #. Aceasta formează altitudinea unui triunghi a cărui bază este o latură. Cele trei triunghiuri fac împreună trangelul original, deci zona sa #mathcal {A} # este

# mathcal {A} = 1/2 r (a + b + c) #

Noi avem

# a ^ 2 = (9-5) ^ 2 + (4-5) ^ 2 = 17 #

# b ^ 2 = (9-1) ^ 2 + (8-4) ^ 2 = 80 #

# c ^ 2 = (5-1) ^ 2 + (8-5) ^ 2 = 25 #

Zona #mathcal {A} # a unui triunghi cu laturi # A, b, c # satisface

# 16mathcal {A} ^ 2 = 4a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2-a ^ 2-b ^

# 16 mathcal {A} ^ 2 = 4 (17) (80) - (25-17-80) ^ 2 = 256 #

#mathcal {A} = sqrt {256/16} = 4 #

# r = {2 mathcal {A}} / (a + b + c) #

# r = {8} / { sqrt {17} + sqrt {80} + sqrt {25}